Номер 23.1, страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.1. 1) По какой формуле вычисляется число перестановок без повторений из $n$ элементов?

2) По какой формуле вычисляется число перестановок с повторениями из $n$ элементов, где $n = n_1 + n_2 + \ldots + n_k$?

1) Перестановкой без повторений из $n$ элементов называется любое упорядоченное множество (последовательность) из этих $n$ элементов. Все элементы в множестве должны быть различными. Число таких перестановок обозначается $P_n$.

Чтобы вычислить это число, можно рассуждать так: на первую позицию в последовательности мы можем выбрать любой из $n$ элементов. На вторую позицию останется $n-1$ вариант, на третью — $n-2$ варианта, и так далее, пока для последней, $n$-й позиции, не останется только один элемент.

Согласно комбинаторному правилу умножения, общее число способов расположить элементы равно произведению числа вариантов для каждой позиции:

$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 2 \cdot 1$

Это произведение называется факториалом числа $n$ и обозначается как $n!$.

Таким образом, формула для вычисления числа перестановок без повторений из $n$ элементов:

$P_n = n!$

Ответ: $P_n = n!$

2) Перестановка с повторениями — это упорядоченная последовательность из $n$ элементов, среди которых могут быть одинаковые. В данном случае у нас есть $k$ различных типов элементов. Элемент первого типа повторяется $n_1$ раз, второго типа — $n_2$ раз, ..., $k$-го типа — $n_k$ раз. Общее число элементов равно $n = n_1 + n_2 + \dots + n_k$.

Если бы все $n$ элементов были различными, число перестановок было бы $n!$. Однако, поскольку у нас есть группы одинаковых элементов, некоторые перестановки будут неотличимы друг от друга. Например, если поменять местами два одинаковых элемента, общая последовательность не изменится.

Число перестановок внутри группы из $n_1$ одинаковых элементов равно $n_1!$. Аналогично, для других групп — $n_2!$, $n_3!$, и так далее. Чтобы получить число уникальных перестановок, нужно общее число перестановок ($n!$) разделить на количество перестановок, которые не приводят к изменению последовательности. Это количество равно произведению факториалов размеров каждой группы одинаковых элементов.

Таким образом, формула для вычисления числа перестановок с повторениями:

$P(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \dots \cdot n_k!}$

Ответ: $P(n_1, n_2, \dots, n_k) = \frac{n!}{n_1! n_2! \dots n_k!}$