Номер 22.15, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.15. Постройте график функции и найдите период функции:

1) $y = \sin(2x - 3)$;

2) $y = \cos\left(\frac{x}{2} - 2\right)$;

3) $y = -2\cos\left(x + \frac{\pi}{4}\right)$;

4) $y = \operatorname{tg}\left(\frac{x}{2} - 1\right)$.

1) $y = \sin(2x - 3)$

Для построения графика этой функции мы преобразуем график базовой функции $y = \sin(x)$. Для этого представим функцию в виде $y = \sin(2(x - 1.5))$. Преобразования выполняются в следующем порядке:

1. Сжатие графика функции $y = \sin(x)$ по горизонтали (к оси OY) в 2 раза. Получаем график $y = \sin(2x)$.

2. Сдвиг полученного графика $y = \sin(2x)$ по горизонтали (вдоль оси OX) вправо на 1.5 единицы. В результате получаем искомый график $y = \sin(2(x - 1.5))$.

Период функции вида $y = A\sin(kx+b)$ находится по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$, где $T_0=2\pi$ – основной период функции синуса. В данном уравнении $k=2$. Таким образом, период функции равен: $T = \frac{2\pi}{|2|} = \pi$.

Ответ: Период функции $T = \pi$.

2) $y = \cos(\frac{x}{2} - 2)$

График данной функции получается из графика $y = \cos(x)$ путем преобразований. Запишем функцию в виде $y = \cos(\frac{1}{2}(x - 4))$.

1. Растяжение графика $y = \cos(x)$ по горизонтали (от оси OY) в 2 раза. Получаем график $y = \cos(\frac{x}{2})$.

2. Сдвиг полученного графика $y = \cos(\frac{x}{2})$ по горизонтали (вдоль оси OX) вправо на 4 единицы. В результате получаем искомый график $y = \cos(\frac{1}{2}(x - 4))$.

Основной период функции косинуса $T_0 = 2\pi$. Период функции $y = \cos(kx+b)$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В нашем случае $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, период равен: $T = \frac{2\pi}{|\frac{1}{2}|} = 4\pi$.

Ответ: Период функции $T = 4\pi$.

3) $y = -2\cos(x + \frac{\pi}{4})$

Для построения графика функции $y = -2\cos(x + \frac{\pi}{4})$ выполним преобразования над графиком $y = \cos(x)$. Запишем функцию как $y = -2\cos(1 \cdot (x - (-\frac{\pi}{4})))$.

1. Сдвиг графика $y = \cos(x)$ по горизонтали (вдоль оси OX) влево на $\frac{\pi}{4}$ единиц. Получаем график $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$.

2. Растяжение полученного графика $y = \cos(x + \frac{\pi}{4})$ от оси OX по вертикали в 2 раза. Амплитуда становится равной 2. Получаем $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$.

3. Симметричное отражение графика $y = 2\cos(x + \frac{\pi}{4})$ относительно оси OX. Получаем итоговый график $y = -2\cos(x + \frac{\pi}{4})$.

Основной период функции косинуса $T_0 = 2\pi$. Период функции $y = A\cos(kx+b)$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном уравнении $k=1$. Таким образом, период функции не изменяется и равен: $T = \frac{2\pi}{|1|} = 2\pi$.

Ответ: Период функции $T = 2\pi$.

4) $y = \text{tg}(\frac{x}{2} - 1)$

Построение графика функции $y = \text{tg}(\frac{x}{2} - 1)$ осуществляется преобразованием графика $y = \text{tg}(x)$. Представим функцию в виде $y = \text{tg}(\frac{1}{2}(x-2))$.

1. Растяжение графика $y = \text{tg}(x)$ по горизонтали (от оси OY) в 2 раза. Получаем график $y = \text{tg}(\frac{x}{2})$. Вертикальные асимптоты $x=\frac{\pi}{2}+n\pi$ смещаются в $x=\pi+2n\pi$, где $n \in \mathbb{Z}$.

2. Сдвиг полученного графика $y = \text{tg}(\frac{x}{2})$ по горизонтали (вдоль оси OX) вправо на 2 единицы. Получаем итоговый график $y = \text{tg}(\frac{1}{2}(x-2))$. Новые асимптоты будут находиться в точках $x = \pi + 2 + 2n\pi$.

Основной период функции тангенса $T_0 = \pi$. Период функции $y = \text{tg}(kx+b)$ вычисляется по формуле $T = \frac{T_0}{|k|}$. В данном случае $k = \frac{1}{2}$. Следовательно, период равен: $T = \frac{\pi}{|\frac{1}{2}|} = 2\pi$.

Ответ: Период функции $T = 2\pi$.