Номер 23.2, страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.2. Вычислите:

1) $P_4$; 2) $P_6$; 3) $\frac{P_7}{P_5}$; 4) $\frac{P_6}{P_8}$; 5) $\frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$; 6) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5}$.

23.3. Найдите:

В задаче используется понятие числа перестановок из $n$ элементов, которое обозначается как $P_n$ и вычисляется по формуле $P_n = n!$, где $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$ включительно: $n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot \dots \cdot n$.

1) $P_4$

Для вычисления $P_4$ используем формулу факториала для $n=4$.

$P_4 = 4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Ответ: 24

2) $P_6$

Аналогично вычисляем $P_6$ для $n=6$.

$P_6 = 6! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 5 \cdot 6 = 720$.

Ответ: 720

3) $\frac{P_7}{P_5}$

Запишем выражение, используя определение перестановок через факториалы: $\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!}$.

Воспользуемся свойством факториала $n! = n \cdot (n-1) \cdot \dots \cdot k!$. В данном случае, $7! = 7 \cdot 6 \cdot 5!$.

$\frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$.

Ответ: 42

4) $\frac{P_6}{P_8}$

Запишем выражение через факториалы: $\frac{P_6}{P_8} = \frac{6!}{8!}$.

Расшифруем $8!$ как $8 \cdot 7 \cdot 6!$ и сократим дробь.

$\frac{6!}{8!} = \frac{6!}{8 \cdot 7 \cdot 6!} = \frac{1}{8 \cdot 7} = \frac{1}{56}$.

Ответ: $\frac{1}{56}$

5) $\frac{P_8}{P_7} + \frac{P_5}{P_6}$

Вычислим каждое слагаемое отдельно.

Первое слагаемое: $\frac{P_8}{P_7} = \frac{8!}{7!} = \frac{8 \cdot 7!}{7!} = 8$.

Второе слагаемое: $\frac{P_5}{P_6} = \frac{5!}{6!} = \frac{5!}{6 \cdot 5!} = \frac{1}{6}$.

Сложим полученные результаты:

$8 + \frac{1}{6} = 8\frac{1}{6}$.

Ответ: $8\frac{1}{6}$

6) $\frac{P_9}{P_7} - \frac{P_7}{P_5}$

Вычислим уменьшаемое и вычитаемое отдельно.

Уменьшаемое: $\frac{P_9}{P_7} = \frac{9!}{7!} = \frac{9 \cdot 8 \cdot 7!}{7!} = 9 \cdot 8 = 72$.

Вычитаемое: $\frac{P_7}{P_5} = \frac{7!}{5!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5!}{5!} = 7 \cdot 6 = 42$.

Найдем разность полученных значений:

$72 - 42 = 30$.

Ответ: 30