Номер 22.17, страница 176, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

22.17. Решите уравнение:

1) $\sqrt{x^2-4} = 2;$

2) $\sqrt{1-2x^2} = 4;$

3) $\sqrt{x^2-4} = 2x-1.$

1) Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 4} = 2$. Область допустимых значений (ОДЗ) этого уравнения определяется условием неотрицательности подкоренного выражения: $x^2 - 4 \ge 0$. Поскольку правая часть уравнения (число 2) является положительным числом, мы можем без потери корней возвести обе части уравнения в квадрат.

$(\sqrt{x^2 - 4})^2 = 2^2$

$x^2 - 4 = 4$

$x^2 = 8$

$x = \pm\sqrt{8}$

$x = \pm 2\sqrt{2}$

Теперь необходимо проверить, удовлетворяют ли найденные корни ОДЗ $x^2 - 4 \ge 0$.

При $x = 2\sqrt{2}$: $(2\sqrt{2})^2 - 4 = 8 - 4 = 4$. Так как $4 \ge 0$, корень $x = 2\sqrt{2}$ является решением.

При $x = -2\sqrt{2}$: $(-2\sqrt{2})^2 - 4 = 8 - 4 = 4$. Так как $4 \ge 0$, корень $x = -2\sqrt{2}$ также является решением.

Ответ: $\pm 2\sqrt{2}$.

2) Дано уравнение $\sqrt{1 - 2x^2} = 4$. По определению, значение арифметического квадратного корня не может быть отрицательным, то есть $\sqrt{1 - 2x^2} \ge 0$. Для того, чтобы корень был определен в действительных числах, подкоренное выражение должно быть неотрицательным: $1 - 2x^2 \ge 0$, что равносильно $2x^2 \le 1$, или $x^2 \le \frac{1}{2}$. Из этого условия следует, что максимальное значение подкоренного выражения $1 - 2x^2$ равно 1 (достигается при $x=0$). Следовательно, максимальное значение левой части уравнения, $\sqrt{1 - 2x^2}$, равно $\sqrt{1} = 1$. Так как левая часть уравнения не может принимать значения больше 1, она никогда не сможет равняться 4. Таким образом, уравнение не имеет решений.

Другой способ решения — возвести обе части в квадрат:

$(\sqrt{1 - 2x^2})^2 = 4^2$

$1 - 2x^2 = 16$

$-2x^2 = 15$

$x^2 = -\frac{15}{2}$

Так как квадрат действительного числа не может быть отрицательным, данное уравнение не имеет действительных корней.

Ответ: корней нет.

3) Дано уравнение $\sqrt{x^2 - 4} = 2x - 1$. Данное уравнение равносильно системе, состоящей из уравнения, полученного возведением в квадрат обеих частей, и неравенства, обеспечивающего неотрицательность правой части (так как значение корня не может быть отрицательным).

$\begin{cases} x^2 - 4 = (2x - 1)^2 \\ 2x - 1 \ge 0 \end{cases}$

Сначала решим неравенство:

$2x - 1 \ge 0$

$2x \ge 1$

$x \ge \frac{1}{2}$

Теперь решим уравнение:

$x^2 - 4 = (2x)^2 - 2 \cdot 2x \cdot 1 + 1^2$

$x^2 - 4 = 4x^2 - 4x + 1$

$0 = 3x^2 - 4x + 5$

Это квадратное уравнение вида $ax^2+bx+c=0$, где $a=3$, $b=-4$, $c=5$. Найдем его дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$

Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение не имеет действительных корней. Следовательно, и исходное уравнение не имеет решений.

Ответ: корней нет.