Номер 23.4, страница 180, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.4. 1) Найдите число четырехзначных чисел, которые можно составить из цифр 6, 7, 8, 9 при условии, что ни одна цифра не повторяется дважды.

2) Найдите число способов раскрасить треугольник, круг и квадрат тремя различными цветами: синим, красным, желтым.

3) Найдите число способов распределения семи мест среди 7 участников соревнований.

1) Для составления четырехзначного числа из цифр 6, 7, 8, 9 без повторений необходимо расставить эти четыре цифры по четырем позициям (тысячи, сотни, десятки, единицы).

На первую позицию (тысячи) можно поставить любую из 4 цифр.

После того как первая цифра выбрана, на вторую позицию (сотни) остается 3 варианта.

На третью позицию (десятки) останется 2 варианта.

На последнюю, четвертую позицию (единицы), останется только 1 вариант.

По правилу умножения в комбинаторике, общее число способов равно произведению числа вариантов для каждой позиции. Это является перестановкой из 4 элементов, которая вычисляется по формуле $P_n = n!$.

В данном случае $n=4$, поэтому число четырехзначных чисел равно:

$P_4 = 4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24$.

Ответ: 24

2) Необходимо раскрасить три различные фигуры (треугольник, круг, квадрат) тремя различными цветами (синий, красный, желтый). Каждой фигуре должен соответствовать один уникальный цвет.

Для первой фигуры (например, треугольника) можно выбрать любой из 3 цветов.

Для второй фигуры (например, круга) останется 2 варианта цвета.

Для третьей фигуры (квадрата) останется последний, 1 вариант цвета.

Общее число способов раскраски равно произведению числа вариантов. Это задача на перестановки 3 элементов.

Число способов равно:

$P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Ответ: 6

3) Требуется распределить семь призовых мест среди семи участников соревнований. Каждое место может занять только один участник, и каждый участник занимает ровно одно место.

Это задача о числе способов упорядочить 7 различных объектов (участников).

Первое место может занять любой из 7 участников.

Второе место — любой из оставшихся 6.

Третье место — любой из оставшихся 5, и так далее до седьмого места, на которое останется 1 претендент.

Общее число способов распределения мест является числом перестановок из 7 элементов и вычисляется по формуле $P_n = n!$.

Для $n=7$ получаем:

$P_7 = 7! = 7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 5040$.

Ответ: 5040