Номер 23.10, страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.10. Найдите корни уравнения:

1) $\bar{A}_x^3 = 2x^2 + 3x;$ 2) $\bar{A}_x^3 = 2x^2 + 8x;$ 3) $\bar{A}_x^3 = 2x^2 + 15x.$

1) $ \bar{A}_x^3 = 2x^2 + 3x $

В левой части уравнения стоит число размещений с повторениями из $x$ элементов по $3$, которое вычисляется по формуле $ \bar{A}_x^k = x^k $. В данном случае $ \bar{A}_x^3 = x^3 $. По определению, основание $x$ должно быть натуральным числом, то есть $ x \in \mathbb{N} $.

Подставим формулу в исходное уравнение:

$ x^3 = 2x^2 + 3x $

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$ x^3 - 2x^2 - 3x = 0 $

Вынесем общий множитель $x$ за скобки:

$ x(x^2 - 2x - 3) = 0 $

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Отсюда получаем:

$ x = 0 $ или $ x^2 - 2x - 3 = 0 $.

Корень $ x = 0 $ не является натуральным числом, поэтому он не является решением задачи.

Решим квадратное уравнение $ x^2 - 2x - 3 = 0 $:

Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 $.

Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2} $.

$ x_1 = \frac{2 + 4}{2} = 3 $.

$ x_2 = \frac{2 - 4}{2} = -1 $.

Из найденных корней только $ x = 3 $ является натуральным числом. Это и есть решение уравнения.

Проверка: $ \bar{A}_3^3 = 3^3 = 27 $; $ 2 \cdot 3^2 + 3 \cdot 3 = 18 + 9 = 27 $. Равенство верно.

Ответ: $3$.

2) $ \bar{A}_x^3 = 2x^2 + 8x $

Аналогично предыдущему пункту, $ \bar{A}_x^3 = x^3 $, где $ x \in \mathbb{N} $.

Получаем уравнение:

$ x^3 = 2x^2 + 8x $

Переносим все в левую часть:

$ x^3 - 2x^2 - 8x = 0 $

Выносим $x$ за скобки:

$ x(x^2 - 2x - 8) = 0 $

Отсюда $ x = 0 $ (не подходит, так как не натуральное число) или $ x^2 - 2x - 8 = 0 $.

Решим квадратное уравнение $ x^2 - 2x - 8 = 0 $:

Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8) = 4 + 32 = 36 $.

Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{36}}{2} = \frac{2 \pm 6}{2} $.

$ x_1 = \frac{2 + 6}{2} = 4 $.

$ x_2 = \frac{2 - 6}{2} = -2 $.

Из найденных корней только $ x = 4 $ является натуральным числом.

Проверка: $ \bar{A}_4^3 = 4^3 = 64 $; $ 2 \cdot 4^2 + 8 \cdot 4 = 32 + 32 = 64 $. Равенство верно.

Ответ: $4$.

3) $ \bar{A}_x^3 = 2x^2 + 15x $

Используем ту же формулу $ \bar{A}_x^3 = x^3 $ с условием $ x \in \mathbb{N} $.

Уравнение принимает вид:

$ x^3 = 2x^2 + 15x $

Переносим все в левую часть:

$ x^3 - 2x^2 - 15x = 0 $

Выносим $x$ за скобки:

$ x(x^2 - 2x - 15) = 0 $

Отсюда $ x = 0 $ (не натуральное число) или $ x^2 - 2x - 15 = 0 $.

Решим квадратное уравнение $ x^2 - 2x - 15 = 0 $:

Дискриминант $ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-15) = 4 + 60 = 64 $.

Корни уравнения: $ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{64}}{2} = \frac{2 \pm 8}{2} $.

$ x_1 = \frac{2 + 8}{2} = 5 $.

$ x_2 = \frac{2 - 8}{2} = -3 $.

Из найденных корней только $ x = 5 $ является натуральным числом.

Проверка: $ \bar{A}_5^3 = 5^3 = 125 $; $ 2 \cdot 5^2 + 15 \cdot 5 = 50 + 75 = 125 $. Равенство верно.

Ответ: $5$.