Номер 23.12, страница 181, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

23.12. На координатной плоскости покажите штриховкой множество решений системы неравенств:

1) $$\begin{cases} x^2 - y - 2 \le 0, \\ y - |x| \le 0; \end{cases}$$

2) $$\begin{cases} x^2 + y^2 - 16 < 0, \\ y - 2|x| \ge 2. \end{cases}$$

1) Рассмотрим систему неравенств:$$\begin{cases}x^2 - y - 2 \le 0 \\y - |x| \le 0\end{cases}$$

Преобразуем каждое неравенство, чтобы выразить $y$.

Первое неравенство $x^2 - y - 2 \le 0$ эквивалентно $y \ge x^2 - 2$. Границей этой области является парабола $y = x^2 - 2$ с вершиной в точке $(0, -2)$ и ветвями, направленными вверх. Неравенству удовлетворяют все точки, лежащие на этой параболе и над ней.

Второе неравенство $y - |x| \le 0$ эквивалентно $y \le |x|$. Границей этой области является график функции $y = |x|$, который представляет собой две прямые $y=x$ для $x \ge 0$ и $y=-x$ для $x < 0$, образующие "угол" с вершиной в начале координат. Неравенству удовлетворяют все точки, лежащие на этом графике и под ним.

Решением системы является пересечение указанных областей, то есть множество точек, удовлетворяющих обоим неравенствам одновременно. Для точного построения найдем точки пересечения границ $y = x^2 - 2$ и $y = |x|$, решив уравнение $x^2 - 2 = |x|$.

Раскроем модуль для двух случаев:

а) При $x \ge 0$, уравнение принимает вид $x^2 - 2 = x$, или $x^2 - x - 2 = 0$. По теореме Виета или через дискриминант находим корни $x_1 = 2$ и $x_2 = -1$. Условию $x \ge 0$ удовлетворяет только $x=2$. При $x=2$, $y=|2|=2$. Получаем точку пересечения $(2, 2)$.

б) При $x < 0$, уравнение принимает вид $x^2 - 2 = -x$, или $x^2 + x - 2 = 0$. Корни этого уравнения $x_1 = -2$ и $x_2 = 1$. Условию $x < 0$ удовлетворяет только $x=-2$. При $x=-2$, $y=|-2|=2$. Получаем точку пересечения $(-2, 2)$.

Таким образом, искомое множество точек на координатной плоскости ограничено снизу дугой параболы $y = x^2 - 2$, соединяющей точки $(-2, 2)$ и $(2, 2)$, а сверху — ломаной, состоящей из отрезков прямых, соединяющих точки $(-2, 2)$, $(0, 0)$ и $(2, 2)$. Так как неравенства нестрогие, все точки на границах принадлежат множеству решений.

Ответ: Искомое множество — это фигура, ограниченная снизу дугой параболы $y = x^2 - 2$ и сверху ломаной $y = |x|$ между точками их пересечения $(-2, 2)$ и $(2, 2)$. Границы фигуры включены в множество.

2) Рассмотрим систему неравенств:$$\begin{cases}x^2 + y^2 - 16 \le 0 \\|y-2|x|| \ge 2\end{cases}$$

Первое неравенство $x^2 + y^2 - 16 \le 0$ можно переписать как $x^2 + y^2 \le 4^2$. Это неравенство задает множество точек внутри и на окружности с центром в начале координат $(0, 0)$ и радиусом $R=4$.

Второе неравенство системы $|y-2|x|| \ge 2$ равносильно совокупности двух неравенств:

$y - 2|x| \ge 2$ или $y - 2|x| \le -2$.

Преобразуем их к виду:

$y \ge 2|x| + 2$ или $y \le 2|x| - 2$.

Неравенство $y \ge 2|x| + 2$ задает множество точек, расположенных на и над графиком функции $y = 2|x| + 2$. Этот график — "угол" с вершиной в точке $(0, 2)$, ветви которого направлены вверх.

Неравенство $y \le 2|x| - 2$ задает множество точек, расположенных на и под графиком функции $y = 2|x| - 2$. Этот график — "угол" с вершиной в точке $(0, -2)$, ветви которого также направлены вверх.

Решением исходной системы является множество точек, которые одновременно принадлежат кругу $x^2 + y^2 \le 16$ и удовлетворяют совокупности неравенств $y \ge 2|x| + 2$ или $y \le 2|x| - 2$.

Следовательно, искомое множество — это те части круга, которые лежат либо над "углом" $y = 2|x| + 2$, либо под "углом" $y = 2|x| - 2$. Это две непересекающиеся области. Так как все неравенства нестрогие, границы областей включаются в решение.

Ответ: Искомое множество — это объединение двух областей, расположенных внутри круга $x^2 + y^2 \le 16$. Первая область ограничена снизу графиком $y = 2|x| + 2$ и сверху дугой окружности. Вторая область ограничена сверху графиком $y = 2|x| - 2$ и снизу дугой окружности. Границы областей включены в множество решений.