Вопросы, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. Чем является сочетание без повторений из $n$ элементов некоторого множества по $k$ элементов для этого множества?

2. В чем сходство и в чем различие сочетаний и размещений без повторений? Сочетаний с повторениями и сочетаний без повторений?

3. Сколько элементов в множестве, если у него всего 16 подмножеств?

1. Сочетанием без повторений из $n$ элементов некоторого множества по $k$ элементов называется любое подмножество этого множества, которое состоит ровно из $k$ элементов. Ключевой особенностью сочетаний является то, что порядок следования элементов в подмножестве не имеет значения. Например, для множества $\{A, B, C\}$ сочетания по 2 элемента — это $\{A, B\}$, $\{A, C\}$ и $\{B, C\}$. Подмножества $\{A, B\}$ и $\{B, A\}$ считаются одним и тем же сочетанием.

Ответ: Любое $k$-элементное подмножество данного $n$-элементного множества.

2.Сходство и различие сочетаний и размещений без повторений:

Сходство заключается в том, что в обоих случаях производится выборка $k$ элементов из исходного множества, содержащего $n$ элементов, и ни один элемент не может быть выбран более одного раза.

Различие состоит в том, что для размещений важен порядок следования элементов, а для сочетаний — нет. Так, наборы $(a, b)$ и $(b, a)$ являются двумя разными размещениями, но одним и тем же сочетанием.

Сходство и различие сочетаний с повторениями и сочетаний без повторений:

Сходство в том, что в обоих случаях порядок выбираемых элементов не имеет значения. Важен только итоговый состав набора.

Различие заключается в том, что в сочетаниях без повторений все элементы в наборе должны быть уникальными (как в подмножестве), а в сочетаниях с повторениями элементы могут выбираться неоднократно (как в мультимножестве).

Ответ: Основное различие между сочетаниями и размещениями — учитывается ли порядок элементов (в размещениях — да, в сочетаниях — нет). Основное различие между сочетаниями с повторениями и без — могут ли элементы в выборке повторяться (с повторениями — да, без — нет).

3. Общее количество всех подмножеств (включая пустое множество и само множество) для множества, содержащего $n$ элементов, вычисляется по формуле $2^n$. По условию задачи, это число равно 16. Следовательно, мы должны решить уравнение:

$2^n = 16$

Мы знаем, что 16 является степенью числа 2, а именно $16 = 2^4$. Подставим это значение в уравнение:

$2^n = 2^4$

Из равенства следует, что показатели степени также должны быть равны, то есть $n = 4$.

Ответ: В множестве 4 элемента.