Номер 24.4, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.4. Решите уравнение:

1) $C^2_n = 28;$

2) $C^{n-3}_n = 20;$

3) $C^m_{30} = 435.$

1) Решим уравнение $C_n^2 = 28$.

Число сочетаний из $n$ по $k$ вычисляется по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$. По условию задачи, $k=2$. Также должно выполняться условие $n \ge k$, то есть $n \ge 2$, и $n$ должно быть натуральным числом.

Подставим $k=2$ в формулу:

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n \cdot (n-1) \cdot (n-2)!}{2 \cdot 1 \cdot (n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$.

Теперь решим полученное уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} = 28$

$n(n-1) = 56$

$n^2 - n - 56 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни по теореме Виета или через дискриминант. По теореме Виета, произведение корней равно -56, а сумма равна 1. Корни: $n_1 = 8$ и $n_2 = -7$.

Так как $n$ должно быть натуральным числом и $n \ge 2$, корень $n_2 = -7$ не является решением. Следовательно, подходит только $n_1 = 8$.

Проверка: $C_8^2 = \frac{8 \cdot 7}{2} = 28$. Верно.

Ответ: $n=8$.

2) Решим уравнение $C_n^{n-3} = 20$.

Используем свойство симметрии для числа сочетаний: $C_n^k = C_n^{n-k}$.

В нашем случае $k=n-3$. Тогда $C_n^{n-3} = C_n^{n-(n-3)} = C_n^3$.

Уравнение принимает вид $C_n^3 = 20$.

По определению, $n$ должно быть натуральным числом и $n \ge 3$.

Распишем $C_n^3$ по формуле:

$C_n^3 = \frac{n!}{3!(n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)(n-3)!}{3 \cdot 2 \cdot 1 \cdot (n-3)!} = \frac{n(n-1)(n-2)}{6}$.

Решим уравнение:

$\frac{n(n-1)(n-2)}{6} = 20$

$n(n-1)(n-2) = 120$

Мы ищем три последовательных натуральных числа, произведение которых равно 120. Можно решить это уравнение подбором. Попробуем $n=5$: $5 \cdot 4 \cdot 3 = 60$ (мало). Попробуем $n=6$: $6 \cdot 5 \cdot 4 = 120$ (верно).

Таким образом, $n=6$. Это значение удовлетворяет условию $n \ge 3$.

Проверка: $C_6^{6-3} = C_6^3 = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4}{6} = 20$. Верно.

Ответ: $n=6$.

3) Решим уравнение $C_{30}^m = 435$.

Здесь нам нужно найти $m$. По определению числа сочетаний, $m$ должно быть целым неотрицательным числом и $0 \le m \le 30$.

Формула для $C_{30}^m$ выглядит так: $C_{30}^m = \frac{30!}{m!(30-m)!}$.

Будем подставлять небольшие значения $m$:

При $m=0$: $C_{30}^0 = 1$.

При $m=1$: $C_{30}^1 = 30$.

При $m=2$: $C_{30}^2 = \frac{30!}{2!(30-2)!} = \frac{30 \cdot 29}{2} = 15 \cdot 29 = 435$.

Значит, $m=2$ является одним из решений.

Воспользуемся свойством симметрии $C_n^k = C_n^{n-k}$. В данном случае $C_{30}^m = C_{30}^{30-m}$.

Так как мы нашли, что $C_{30}^2 = 435$, то и $C_{30}^{30-2} = C_{30}^{28}$ также будет равно 435.

Следовательно, $m=28$ — это второе решение.

Для $n > 2$ функция $f(m) = C_n^m$ возрастает при $m \in [0, n/2]$ и убывает при $m \in [n/2, n]$. Так как $C_{30}^2=435$, а $C_{30}^3 = \frac{30 \cdot 29 \cdot 28}{6} = 4060 > 435$, других решений в интервале $m \in [0, 15]$ нет. В силу симметрии, других решений нет и в интервале $m \in [15, 30]$.

Таким образом, уравнение имеет два корня.

Ответ: $m=2$ или $m=28$.