Номер 24.11, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*24.11. Имеется 6 различных ящиков, 4 неразличимых белых шара и 3 неразличимых черных шара. Сколькими способами можно разложить все шары по ящикам так, чтобы в каждом был хотя бы один шар?

Для решения задачи нам нужно разложить 4 неразличимых белых шара и 3 неразличимых черных шара (всего 7 шаров) по 6 различным ящикам так, чтобы в каждом ящике был хотя бы один шар.

Поскольку у нас 7 шаров и 6 ящиков, и в каждом ящике должен быть хотя бы один шар, то по принципу Дирихле единственно возможный вариант распределения количества шаров по ящикам — это когда в одном ящике лежат ровно два шара, а в остальных пяти ящиках — по одному шару.

Задача сводится к тому, чтобы рассмотреть все возможные составы пары шаров в одном ящике и затем посчитать способы размещения оставшихся шаров.

Рассмотрим три взаимоисключающих случая, в зависимости от того, какие два шара окажутся в одном ящике.

Случай 1: В одном ящике находятся два белых шара.

Сначала выберем один из 6 ящиков, в который мы поместим два белых шара. Это можно сделать $\binom{6}{1}$ способами.После этого у нас останется 5 ящиков, 2 белых шара и 3 черных шара. В каждый из оставшихся 5 ящиков нужно положить по одному шару. Нам нужно выбрать, в какие 2 из 5 оставшихся ящиков мы положим по одному белому шару. Это можно сделать $\binom{5}{2}$ способами. В оставшиеся 3 ящика автоматически помещаются черные шары.Общее число способов для этого случая:$N_1 = \binom{6}{1} \times \binom{5}{2} = 6 \times \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 6 \times 10 = 60$.

Случай 2: В одном ящике находятся два черных шара.

Сначала выберем один из 6 ящиков для двух черных шаров. Это можно сделать $\binom{6}{1}$ способами.После этого у нас останется 5 ящиков, 4 белых шара и 1 черный шар. В каждый из оставшихся 5 ящиков нужно положить по одному шару. Нам нужно выбрать, в какой 1 из 5 оставшихся ящиков мы положим черный шар. Это можно сделать $\binom{5}{1}$ способами. В оставшиеся 4 ящика автоматически помещаются белые шары.Общее число способов для этого случая:$N_2 = \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} = 6 \times 5 = 30$.

Случай 3: В одном ящике находятся один белый и один черный шар.

Сначала выберем один из 6 ящиков для этой пары шаров. Это можно сделать $\binom{6}{1}$ способами.После этого у нас останется 5 ящиков, 3 белых шара и 2 черных шара. В каждый из оставшихся 5 ящиков нужно положить по одному шару. Нам нужно выбрать, в какие 3 из 5 оставшихся ящиков мы положим по одному белому шару. Это можно сделать $\binom{5}{3}$ способами. В оставшиеся 2 ящика автоматически помещаются черные шары.Общее число способов для этого случая:$N_3 = \binom{6}{1} \times \binom{5}{3} = 6 \times \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 6 \times 10 = 60$.

Поскольку эти три случая не пересекаются, общее число способов равно сумме способов в каждом случае:$N = N_1 + N_2 + N_3 = 60 + 30 + 60 = 150$.

Ответ: 150