Номер 24.7, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.7. В почтовом отделении продаются открытки 10 сортов. Сколькими способами можно купить в нем:

1) 12 открыток?

2) 8 открыток?

3) 8 различных открыток?

1) 12 открыток?

В данном случае нам нужно выбрать 12 открыток из 10 имеющихся сортов. Поскольку мы можем покупать несколько открыток одного и того же сорта, а порядок выбора не имеет значения, эта задача решается с помощью формулы для числа сочетаний с повторениями.

Формула для числа сочетаний с повторениями из $n$ элементов по $k$ имеет вид:

$ \bar{C}_n^k = C_{n+k-1}^k = \binom{n+k-1}{k} $

Здесь $n=10$ (количество сортов открыток), а $k=12$ (количество открыток, которое нужно купить).

Подставляем значения в формулу:

$ \bar{C}_{10}^{12} = C_{10+12-1}^{12} = C_{21}^{12} = \binom{21}{12} $

Для удобства вычислений используем свойство биномиальных коэффициентов $ \binom{n}{k} = \binom{n}{n-k} $:

$ \binom{21}{12} = \binom{21}{21-12} = \binom{21}{9} $

Теперь вычислим значение:

$ \binom{21}{9} = \frac{21!}{9!(21-9)!} = \frac{21!}{9!12!} = \frac{21 \cdot 20 \cdot 19 \cdot 18 \cdot 17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13}{9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 293930 $

Ответ: 293930 способов.

2) 8 открыток?

Этот случай аналогичен предыдущему. Мы снова выбираем открытки из 10 сортов, и они могут повторяться. Это также задача на сочетания с повторениями.

Здесь $n=10$ (количество сортов), а $k=8$ (количество открыток для покупки).

Применяем ту же формулу:

$ \bar{C}_{10}^8 = C_{10+8-1}^8 = C_{17}^8 = \binom{17}{8} $

Вычисляем значение:

$ \binom{17}{8} = \frac{17!}{8!(17-8)!} = \frac{17!}{8!9!} = \frac{17 \cdot 16 \cdot 15 \cdot 14 \cdot 13 \cdot 12 \cdot 11 \cdot 10}{8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 24310 $

Ответ: 24310 способов.

3) 8 различных открыток?

Ключевое слово здесь — "различных". Это означает, что все 8 открыток должны быть разных сортов, то есть повторения не допускаются. Нам нужно выбрать 8 сортов из 10 доступных. Порядок выбора не важен.

Эта задача решается с помощью формулы для числа сочетаний без повторений.

Формула для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$:

$ C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!} $

Здесь $n=10$ (общее количество сортов), а $k=8$ (количество различных открыток, которое нужно выбрать).

Подставляем значения в формулу:

$ C_{10}^8 = \binom{10}{8} = \frac{10!}{8!(10-8)!} = \frac{10!}{8!2!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45 $

Ответ: 45 способов.