Номер 24.14, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.14.На рисунке 24.4 изображен график функции $y = f(x)$. Укажите утверждения, неверные для функции $y = f(x)$:

Рис. 24.4

1) $f(2) = f(4) = 0$;

2) функция возрастает на интервале $(0; 9)$;

3) функция постоянна на промежутке $[2; 4]$;

4) $x = 2$ — точка минимума функции;

5) функция возрастает при $x \in (1; 9)$.

1) $f(2) = f(4) = 0$

Для проверки этого утверждения найдем значения функции в точках $x=2$ и $x=4$. По графику видно, что значения $f(2)$ и $f(4)$ соответствуют точкам на горизонтальном участке, который расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Это означает, что $f(2) = f(4) > 0$. Следовательно, равенство $f(2) = f(4) = 0$ не выполняется. Ответ: утверждение неверно.

2) функция возрастает на интервале (0; 9)

Функция называется возрастающей на интервале, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_2 > x_1$, выполняется $f(x_2) > f(x_1)$. На заданном интервале $(0; 9)$ это условие не выполняется. Например, на промежутке $(0; 2]$ функция убывает (график идет вниз), а на промежутке $[2; 4]$ она постоянна (график является горизонтальной линией). Поскольку существуют участки убывания и постоянства, функция не возрастает на всем интервале $(0; 9)$. Ответ: утверждение неверно.

3) функция постоянна на промежутке [2; 4]

На графике видно, что на промежутке от $x=2$ до $x=4$ включительно, график функции является горизонтальным отрезком прямой. Это означает, что для любого значения $x$ из этого промежутка значение функции $f(x)$ остается одним и тем же. Это соответствует определению постоянной функции на промежутке. Ответ: утверждение верно.

4) $x = 2$ — точка минимума функции

Точка $x_0$ называется точкой минимума функции, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Для точки $x=2$ в ее окрестности, например на интервале $(1; 3)$, мы видим, что для $x \in (1; 2)$ значения $f(x)$ больше $f(2)$, а для $x \in [2; 3)$ значения $f(x)$ равны $f(2)$. Следовательно, условие $f(x) \ge f(2)$ выполняется, и $x=2$ является точкой минимума. Ответ: утверждение верно.

5) функция возрастает при $x \in (1; 9)$

Рассмотрим поведение функции на интервале $(1; 9)$. На части этого интервала, а именно на $(1; 2]$, функция убывает. На промежутке $[2; 4]$ функция постоянна. Поскольку функция не возрастает на всем указанном интервале, утверждение не является верным. Ответ: утверждение неверно.