Номер 25.1, страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.1. Представьте в виде многочлена степень:

1) $(x+a)^5$; 2) $(3x+2a)^6$; 3) $(3x-a)^5$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n$

где $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты также можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) $(x+a)^5$

Применим формулу бинома Ньютона для $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны $C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$, $C_5^5=1$.

$(x+a)^5 = C_5^0 x^5 a^0 + C_5^1 x^4 a^1 + C_5^2 x^3 a^2 + C_5^3 x^2 a^3 + C_5^4 x^1 a^4 + C_5^5 x^0 a^5$

Подставляем значения коэффициентов:

$1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot a + 10 \cdot x^3 \cdot a^2 + 10 \cdot x^2 \cdot a^3 + 5 \cdot x \cdot a^4 + 1 \cdot 1 \cdot a^5$

Получаем многочлен:

$x^5 + 5ax^4 + 10a^2x^3 + 10a^3x^2 + 5a^4x + a^5$

Ответ: $x^5 + 5ax^4 + 10a^2x^3 + 10a^3x^2 + 5a^4x + a^5$

2) $(3x+2a)^6$

Применим формулу бинома Ньютона для $n=6$. В данном случае первый член бинома равен $3x$, а второй $2a$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны $C_6^0=1$, $C_6^1=6$, $C_6^2=15$, $C_6^3=20$, $C_6^4=15$, $C_6^5=6$, $C_6^6=1$.

$(3x+2a)^6 = C_6^0(3x)^6(2a)^0 + C_6^1(3x)^5(2a)^1 + C_6^2(3x)^4(2a)^2 + C_6^3(3x)^3(2a)^3 + C_6^4(3x)^2(2a)^4 + C_6^5(3x)^1(2a)^5 + C_6^6(3x)^0(2a)^6$

Вычислим каждый член разложения:

$C_6^0(3x)^6(2a)^0 = 1 \cdot 3^6 x^6 \cdot 1 = 729x^6$

$C_6^1(3x)^5(2a)^1 = 6 \cdot 3^5 x^5 \cdot 2a = 6 \cdot 243x^5 \cdot 2a = 2916ax^5$

$C_6^2(3x)^4(2a)^2 = 15 \cdot 3^4 x^4 \cdot 2^2 a^2 = 15 \cdot 81x^4 \cdot 4a^2 = 4860a^2x^4$

$C_6^3(3x)^3(2a)^3 = 20 \cdot 3^3 x^3 \cdot 2^3 a^3 = 20 \cdot 27x^3 \cdot 8a^3 = 4320a^3x^3$

$C_6^4(3x)^2(2a)^4 = 15 \cdot 3^2 x^2 \cdot 2^4 a^4 = 15 \cdot 9x^2 \cdot 16a^4 = 2160a^4x^2$

$C_6^5(3x)^1(2a)^5 = 6 \cdot 3x \cdot 2^5 a^5 = 18x \cdot 32a^5 = 576a^5x$

$C_6^6(3x)^0(2a)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 2^6 a^6 = 64a^6$

Складываем все члены:

$729x^6 + 2916ax^5 + 4860a^2x^4 + 4320a^3x^3 + 2160a^4x^2 + 576a^5x + 64a^6$

Ответ: $729x^6 + 2916ax^5 + 4860a^2x^4 + 4320a^3x^3 + 2160a^4x^2 + 576a^5x + 64a^6$

3) $(3x-a)^5$

Это выражение можно представить как $(3x+(-a))^5$. Применим формулу бинома Ньютона для $n=5$. Биномиальные коэффициенты, как и в первом пункте, равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. Здесь первый член бинома равен $3x$, а второй $-a$.

$(3x-a)^5 = C_5^0(3x)^5(-a)^0 + C_5^1(3x)^4(-a)^1 + C_5^2(3x)^3(-a)^2 + C_5^3(3x)^2(-a)^3 + C_5^4(3x)^1(-a)^4 + C_5^5(3x)^0(-a)^5$

Обратим внимание, что знаки членов будут чередоваться, так как $(-a)$ возводится в нечетные и четные степени.

Вычислим каждый член разложения:

$C_5^0(3x)^5(-a)^0 = 1 \cdot 3^5 x^5 \cdot 1 = 243x^5$

$C_5^1(3x)^4(-a)^1 = 5 \cdot 3^4 x^4 \cdot (-a) = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-a) = -405ax^4$

$C_5^2(3x)^3(-a)^2 = 10 \cdot 3^3 x^3 \cdot a^2 = 10 \cdot 27x^3 \cdot a^2 = 270a^2x^3$

$C_5^3(3x)^2(-a)^3 = 10 \cdot 3^2 x^2 \cdot (-a^3) = 10 \cdot 9x^2 \cdot (-a^3) = -90a^3x^2$

$C_5^4(3x)^1(-a)^4 = 5 \cdot 3x \cdot a^4 = 15xa^4 = 15a^4x$

$C_5^5(3x)^0(-a)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-a^5) = -a^5$

Складываем все члены:

$243x^5 - 405ax^4 + 270a^2x^3 - 90a^3x^2 + 15a^4x - a^5$

Ответ: $243x^5 - 405ax^4 + 270a^2x^3 - 90a^3x^2 + 15a^4x - a^5$