Номер 25.7, страница 191, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.7. Значение суммы биномиальных коэффициентов разложения

$\left(2na + \frac{1}{2na^2}\right)^{3n}$ равно 64. Найдите слагаемое, не содержащее $a$.

Сумма биномиальных коэффициентов разложения $(x+y)^m$ равна $2^m$. Для разложения $(\left(2na + \frac{1}{2na^2}\right))^{3n}$ показатель степени равен $3n$. По условию, сумма коэффициентов равна 64, следовательно:

$2^{3n} = 64$

Поскольку $64 = 2^6$, мы можем записать:

$2^{3n} = 2^6$

Отсюда следует, что показатели степени равны:

$3n = 6$

$n = 2$

Теперь подставим найденное значение $n=2$ в исходное выражение. Показатель степени бинома становится $3n = 3 \cdot 2 = 6$. Исходное выражение принимает вид:

$(2 \cdot 2 \cdot a + \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot a^2})^6 = (4a + \frac{1}{4a^2})^6$

Общий член разложения бинома $(x+y)^m$ задается формулой $T_{k+1} = C_m^k x^{m-k} y^k$.

В нашем случае $x = 4a$, $y = \frac{1}{4a^2}$ и $m=6$.

Таким образом, $(k+1)$-й член разложения равен:

$T_{k+1} = C_6^k (4a)^{6-k} \left(\frac{1}{4a^2}\right)^k$

Упростим это выражение, чтобы найти степень переменной $a$:

$T_{k+1} = C_6^k \cdot 4^{6-k} \cdot a^{6-k} \cdot \frac{1}{4^k \cdot (a^2)^k} = C_6^k \cdot 4^{6-k} \cdot a^{6-k} \cdot 4^{-k} \cdot a^{-2k} = C_6^k \cdot 4^{6-2k} \cdot a^{6-3k}$

Слагаемое не содержит $a$, когда показатель степени при $a$ равен нулю. Приравняем показатель степени $a$ к нулю и найдем $k$:

$6 - 3k = 0$

$3k = 6$

$k = 2$

Это означает, что искомое слагаемое является третьим членом разложения (поскольку $k$ начинается с 0, $k=2$ соответствует члену $T_{2+1} = T_3$). Подставим $k=2$ в формулу для общего члена:

$T_3 = C_6^2 \cdot 4^{6-2 \cdot 2} \cdot a^{6-3 \cdot 2} = C_6^2 \cdot 4^{2} \cdot a^{0} = C_6^2 \cdot 16$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент $C_6^2$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Наконец, найдем значение искомого слагаемого:

$T_3 = 15 \cdot 16 = 240$

Ответ: 240.