Номер 25.9, страница 191, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.9. Докажите, что верно равенство:

1) $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1};$

2) $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}.$

1) Докажем равенство $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1}$.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона и методом дифференцирования.

Формула бинома Ньютона имеет вид:

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$.

Продифференцируем обе части этого тождества по переменной $x$:

$\frac{d}{dx}(1+x)^n = \frac{d}{dx} \left( C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n \right)$

Производная левой части: $n(1+x)^{n-1}$.

Производная правой части: $0 + C_n^1 + 2 C_n^2 x + 3 C_n^3 x^2 + \dots + n C_n^n x^{n-1}$.

Таким образом, мы получаем новое тождество:

$n(1+x)^{n-1} = C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 x + 3 \cdot C_n^3 x^2 + \dots + n \cdot C_n^n x^{n-1}$.

Это равенство верно для любого значения $x$. Подставим в него $x=1$:

$n(1+1)^{n-1} = C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 \cdot 1 + 3 \cdot C_n^3 \cdot 1^2 + \dots + n \cdot C_n^n \cdot 1^{n-1}$.

Упрощая выражение, получаем искомое равенство:

$n \cdot 2^{n-1} = C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}$.

Обозначим сумму в левой части как $S$:

$S = C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = \sum_{k=0}^{n} (k+1)C_n^k$.

Разобьем эту сумму на две части, раскрыв скобки в общем члене $(k+1)C_n^k = k \cdot C_n^k + C_n^k$:

$S = \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k + \sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Теперь рассмотрим каждую сумму отдельно.

Первая сумма: $\sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k = 0 \cdot C_n^0 + 1 \cdot C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + \dots + n \cdot C_n^n$. Это в точности выражение из пункта 1), для которого мы уже доказали, что оно равно $n \cdot 2^{n-1}$.

$\sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$.

Вторая сумма: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$. Это сумма всех биномиальных коэффициентов для степени $n$. Из формулы бинома Ньютона $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k$ при $x=1$ следует, что эта сумма равна $(1+1)^n = 2^n$.

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.

Теперь сложим результаты для двух сумм, чтобы найти $S$:

$S = n \cdot 2^{n-1} + 2^n$.

Представим $2^n$ как $2 \cdot 2^{n-1}$ и вынесем общий множитель $2^{n-1}$ за скобки:

$S = n \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = (n+2) \cdot 2^{n-1}$.

Таким образом, мы доказали исходное равенство.

Ответ: Равенство доказано.