Номер 25.13, страница 191, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.13. В турнире по футболу участвовало 6 команд. Сколько всего матчей было сыграно, если турнир проходил по круговой системе?

25.13. В задаче требуется найти общее количество матчей в турнире с 6 командами, который проводится по круговой системе. Круговая система означает, что каждая команда должна сыграть с каждой другой командой ровно один раз.

Существует несколько способов решения этой задачи.

Способ 1: Арифметический подсчет

Рассмотрим каждую команду по очереди.

- Первая команда должна сыграть с 5-ю оставшимися командами. Это 5 матчей.

- Вторая команда уже сыграла с первой. Ей осталось сыграть с 4-мя командами. Это 4 новых матча.

- Третья команда уже сыграла с первой и второй. Ей осталось сыграть с 3-мя командами. Это 3 новых матча.

- Четвертая команда уже сыграла с первыми тремя. Ей осталось сыграть с 2-мя командами. Это 2 новых матча.

- Пятая команда сыграла со всеми, кроме шестой. Ей остался 1 новый матч.

- Шестая команда уже провела матчи со всеми соперниками.

Чтобы найти общее количество матчей, нужно сложить все уникальные игры:

$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$

Способ 2: Использование формулы комбинаторики

Каждый матч — это выбор двух команд из шести. Поскольку порядок команд в матче не имеет значения (игра "Команда А против Команды Б" — это тот же матч, что и "Команда Б против Команды А"), мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Формула числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае у нас $n=6$ (общее число команд) и $k=2$ (число команд в одном матче).

Подставляем наши значения в формулу:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Существует также специальная формула для расчета количества игр в круговом турнире, которая является упрощением комбинаторного подхода:

Количество матчей = $\frac{n \times (n-1)}{2}$, где $n$ — количество команд.

Для 6 команд:

Количество матчей = $\frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Все три способа дают одинаковый результат.

Ответ: 15 матчей.