Номер 25.10, страница 191, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.10. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{10 - 3x - x^2}$; 2) $y = \frac{x}{\sqrt{2x^2 - x - 3}};

3) $y = \arcsin\frac{1}{x}$; 4) $y = \arccos\sqrt{x}.

1) Область определения функции $y = \sqrt{10 - 3x - x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$10 - 3x - x^2 \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 + 3x - 10 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$

Так как ветви параболы $f(x) = x^2 + 3x - 10$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 3x - 10 \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).

Следовательно, $x \in [-5; 2]$.

Ответ: $D(y) = [-5; 2]$.

2) Область определения функции $y = \frac{x}{\sqrt{2x^2 - x - 3}}$ определяется двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Объединив эти условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$2x^2 - x - 3 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$

Ветви параболы $f(x) = 2x^2 - x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - x - 3 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, $x \in (-\infty; -1) \cup (1.5; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (1.5; +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \arcsin\frac{1}{x}$ находится из условия, что аргумент арксинуса должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Получаем двойное неравенство:

$-1 \le \frac{1}{x} \le 1$

Это неравенство также требует, чтобы $x \neq 0$. Оно эквивалентно неравенству $|\frac{1}{x}| \le 1$, или $\frac{1}{|x|} \le 1$.

Так как $|x| > 0$, можно умножить обе части на $|x|$, сохранив знак неравенства:

$1 \le |x|$

Неравенство $|x| \ge 1$ выполняется, когда $x \ge 1$ или $x \le -1$.

Следовательно, $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \arccos\sqrt{x}$ определяется двумя условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Аргумент арккосинуса должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$: $-1 \le \sqrt{x} \le 1$.

Рассмотрим систему этих условий:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{x} \le 1 \end{cases}$

Из первого условия $x \ge 0$ следует, что $\sqrt{x}$ определен и $\sqrt{x} \ge 0$. Поэтому левая часть второго неравенства, $\sqrt{x} \ge -1$, выполняется автоматически.

Остается решить систему:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ \sqrt{x} \le 1 \end{cases}$

Так как обе части неравенства $\sqrt{x} \le 1$ неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$x \le 1^2 \implies x \le 1$

Объединяя условия $x \ge 0$ и $x \le 1$, получаем $0 \le x \le 1$.

Следовательно, $x \in [0; 1]$.

Ответ: $D(y) = [0; 1]$.