Объясните, страница 195, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему вероятность события А, как и его частота, заключена между нулем и единицей: $0 \le P(A) \le 1$?

Это фундаментальное свойство вытекает непосредственно из определений частоты и вероятности. Давайте рассмотрим их по отдельности.

Объяснение для частоты

Относительная частота события $A$ – это величина, которая показывает, какая доля от общего числа экспериментов завершилась наступлением события $A$. Она вычисляется по формуле:

$W(A) = \frac{N(A)}{N}$

где:

$N$ – общее число проведенных испытаний (экспериментов).

$N(A)$ – число испытаний, в которых наступило событие $A$.

Теперь проанализируем границы для $N(A)$:

1. В самом худшем случае событие $A$ не произойдет ни разу. Тогда число его наступлений $N(A) = 0$. Частота в этом случае будет равна $W(A) = \frac{0}{N} = 0$. Число наступлений события не может быть отрицательным, поэтому $N(A) \ge 0$, а значит и $W(A) \ge 0$.

2. В самом лучшем случае событие $A$ будет происходить в каждом испытании. Тогда число его наступлений будет равно общему числу испытаний, то есть $N(A) = N$. Частота в этом случае будет равна $W(A) = \frac{N}{N} = 1$. Событие $A$ не может произойти больше раз, чем было проведено испытаний, поэтому $N(A) \le N$, а значит и $W(A) \le 1$.

Объединяя эти два пункта, мы получаем, что относительная частота всегда находится в пределах от 0 до 1: $0 \le W(A) \le 1$.

Ответ: Частота заключена в диапазоне от 0 до 1, так как количество наступлений события не может быть отрицательным и не может превышать общее количество проведенных испытаний.

Объяснение для вероятности

Вероятность, в классическом ее определении, является теоретической мерой возможности наступления события. Она определяется как отношение числа исходов, благоприятствующих событию $A$, к общему числу всех равновозможных элементарных исходов. Формула выглядит так:

$P(A) = \frac{m}{n}$

где:

$n$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов эксперимента.

$m$ – число элементарных исходов, благоприятствующих наступлению события $A$.

Проанализируем границы для $m$:

1. Если для события $A$ нет благоприятствующих исходов (т.е. оно невозможное), то $m = 0$. Вероятность такого события равна $P(A) = \frac{0}{n} = 0$. Количество благоприятствующих исходов не может быть отрицательным, поэтому $m \ge 0$, а значит и $P(A) \ge 0$.

2. Если событию $A$ благоприятствуют абсолютно все возможные исходы (т.е. оно достоверное), то $m = n$. Вероятность такого события равна $P(A) = \frac{n}{n} = 1$. Число благоприятствующих исходов не может быть больше общего числа исходов, так как они являются его подмножеством. Поэтому $m \le n$, а значит и $P(A) \le 1$.

Таким образом, для любого события $A$ его вероятность всегда удовлетворяет двойному неравенству: $0 \le P(A) \le 1$. Это свойство также является одной из фундаментальных аксиом теории вероятностей (аксиоматика Колмогорова), где постулируется, что вероятность любого события — неотрицательное число, а вероятность достоверного события равна 1.

Ответ: Вероятность заключена в диапазоне от 0 до 1, так как количество благоприятных исходов для события не может быть отрицательным и не может превышать общее количество всех возможных равновероятных исходов.