Номер 25.14, страница 191, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.14. В классе 27 учащихся, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:

1) первый учащийся должен уметь решать тригонометрические уравнения, второй — сходить за мелом, третий — быть дежурным в классе;

2) они будут исполнять танец?

1) первый учащийся должен уметь решать тригонометрические уравнения, второй — сходить за мелом, третий — быть дежурным в классе;

В этом случае нам нужно выбрать троих учащихся из 27 и распределить их по трем различным ролям. Поскольку роли различны (первый, второй, третий), порядок выбора учащихся имеет значение. Например, если мы выберем учеников A, B и C, то ситуация, когда A решает уравнения, B идет за мелом, а C дежурит, отличается от ситуации, когда B решает уравнения, A идет за мелом и C дежурит. Следовательно, для решения этой задачи необходимо использовать формулу для числа размещений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае $n=27$ (общее число учащихся), а $k=3$ (количество выбираемых учащихся).

Первого учащегося на первую роль можно выбрать 27 способами. После этого второго учащегося на вторую роль можно выбрать из оставшихся 26 учеников, то есть 26 способами. Наконец, третьего учащегося на третью роль можно выбрать из оставшихся 25 учеников, то есть 25 способами.

Общее количество способов, согласно правилу умножения в комбинаторике, равно произведению числа способов для каждого выбора:

$A_{27}^3 = 27 \times 26 \times 25 = 702 \times 25 = 17550$

Таким образом, существует 17550 способов выбрать трех учащихся для выполнения этих трех различных заданий.

Ответ: 17550.

2) они будут исполнять танец?

В этом случае нам нужно просто выбрать группу из трех учащихся из 27. Порядок выбора не имеет значения, так как все трое будут выполнять одно и то же действие — исполнять танец. Группа из учеников A, B и C — это та же самая группа, что и B, A и C. Следовательно, для решения этой задачи нужно использовать формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем наши значения: $n=27$ и $k=3$.

$C_{27}^3 = \frac{27!}{3!(27-3)!} = \frac{27!}{3! \cdot 24!} = \frac{27 \times 26 \times 25}{3 \times 2 \times 1}$

Выполним вычисления:

$C_{27}^3 = \frac{27}{3} \times \frac{26}{2} \times 25 = 9 \times 13 \times 25 = 117 \times 25 = 2925$

Таким образом, существует 2925 способов выбрать трех учащихся для исполнения танца.

Ответ: 2925.