Страница 191, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

25.7. Значение суммы биномиальных коэффициентов разложения

$\left(2na + \frac{1}{2na^2}\right)^{3n}$ равно 64. Найдите слагаемое, не содержащее $a$.

Сумма биномиальных коэффициентов разложения $(x+y)^m$ равна $2^m$. Для разложения $(\left(2na + \frac{1}{2na^2}\right))^{3n}$ показатель степени равен $3n$. По условию, сумма коэффициентов равна 64, следовательно:

$2^{3n} = 64$

Поскольку $64 = 2^6$, мы можем записать:

$2^{3n} = 2^6$

Отсюда следует, что показатели степени равны:

$3n = 6$

$n = 2$

Теперь подставим найденное значение $n=2$ в исходное выражение. Показатель степени бинома становится $3n = 3 \cdot 2 = 6$. Исходное выражение принимает вид:

$(2 \cdot 2 \cdot a + \frac{1}{2 \cdot 2 \cdot a^2})^6 = (4a + \frac{1}{4a^2})^6$

Общий член разложения бинома $(x+y)^m$ задается формулой $T_{k+1} = C_m^k x^{m-k} y^k$.

В нашем случае $x = 4a$, $y = \frac{1}{4a^2}$ и $m=6$.

Таким образом, $(k+1)$-й член разложения равен:

$T_{k+1} = C_6^k (4a)^{6-k} \left(\frac{1}{4a^2}\right)^k$

Упростим это выражение, чтобы найти степень переменной $a$:

$T_{k+1} = C_6^k \cdot 4^{6-k} \cdot a^{6-k} \cdot \frac{1}{4^k \cdot (a^2)^k} = C_6^k \cdot 4^{6-k} \cdot a^{6-k} \cdot 4^{-k} \cdot a^{-2k} = C_6^k \cdot 4^{6-2k} \cdot a^{6-3k}$

Слагаемое не содержит $a$, когда показатель степени при $a$ равен нулю. Приравняем показатель степени $a$ к нулю и найдем $k$:

$6 - 3k = 0$

$3k = 6$

$k = 2$

Это означает, что искомое слагаемое является третьим членом разложения (поскольку $k$ начинается с 0, $k=2$ соответствует члену $T_{2+1} = T_3$). Подставим $k=2$ в формулу для общего члена:

$T_3 = C_6^2 \cdot 4^{6-2 \cdot 2} \cdot a^{6-3 \cdot 2} = C_6^2 \cdot 4^{2} \cdot a^{0} = C_6^2 \cdot 16$

Теперь вычислим биномиальный коэффициент $C_6^2$:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2!4!} = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$

Наконец, найдем значение искомого слагаемого:

$T_3 = 15 \cdot 16 = 240$

Ответ: 240.

25.8. Пятое слагаемое разложения бинома n-ой степени $(\frac{1}{a} + \sqrt{a})^n$ не зависит от a. Найдите $A_n^2$.

25.8.Формула для $(k+1)$-го члена разложения бинома Ньютона $(x+y)^n$ имеет вид: $T_{k+1} = C_n^k x^{n-k} y^k$.В данном случае бином имеет вид $(\frac{1}{a} + \sqrt{a})^n$, где $x = \frac{1}{a} = a^{-1}$ и $y = \sqrt{a} = a^{1/2}$.Подставим эти значения в формулу общего члена разложения:$T_{k+1} = C_n^k (a^{-1})^{n-k} (a^{1/2})^k = C_n^k a^{-(n-k)} a^{\frac{k}{2}} = C_n^k a^{-n+k+\frac{k}{2}} = C_n^k a^{-n+\frac{3k}{2}}$.Пятое слагаемое разложения соответствует значению $k+1=5$, то есть $k=4$.Подставим $k=4$ в полученное выражение для $T_{k+1}$:$T_5 = C_n^4 a^{-n+\frac{3 \cdot 4}{2}} = C_n^4 a^{-n+6}$.По условию задачи, пятое слагаемое не зависит от $a$. Это означает, что показатель степени переменной $a$ должен быть равен нулю:$-n+6 = 0$.Отсюда находим значение $n$:$n=6$.Теперь необходимо найти $A_n^2$, то есть число размещений из $n$ по 2.$A_n^2 = A_6^2$.Используем формулу для числа размещений: $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.$A_6^2 = \frac{6!}{(6-2)!} = \frac{6!}{4!} = \frac{6 \cdot 5 \cdot 4!}{4!} = 6 \cdot 5 = 30$.

Ответ: 30.

25.9. Докажите, что верно равенство:

1) $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1};$

2) $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}.$

1) Докажем равенство $C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n = n \cdot 2^{n-1}$.

Для доказательства воспользуемся формулой бинома Ньютона и методом дифференцирования.

Формула бинома Ньютона имеет вид:

$(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k = C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n$.

Продифференцируем обе части этого тождества по переменной $x$:

$\frac{d}{dx}(1+x)^n = \frac{d}{dx} \left( C_n^0 + C_n^1 x + C_n^2 x^2 + \dots + C_n^n x^n \right)$

Производная левой части: $n(1+x)^{n-1}$.

Производная правой части: $0 + C_n^1 + 2 C_n^2 x + 3 C_n^3 x^2 + \dots + n C_n^n x^{n-1}$.

Таким образом, мы получаем новое тождество:

$n(1+x)^{n-1} = C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 x + 3 \cdot C_n^3 x^2 + \dots + n \cdot C_n^n x^{n-1}$.

Это равенство верно для любого значения $x$. Подставим в него $x=1$:

$n(1+1)^{n-1} = C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 \cdot 1 + 3 \cdot C_n^3 \cdot 1^2 + \dots + n \cdot C_n^n \cdot 1^{n-1}$.

Упрощая выражение, получаем искомое равенство:

$n \cdot 2^{n-1} = C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + 3 \cdot C_n^3 + \dots + n \cdot C_n^n$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Равенство доказано.

2) Докажем равенство $C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = (n+2) \cdot 2^{n-1}$.

Обозначим сумму в левой части как $S$:

$S = C_n^0 + 2 \cdot C_n^1 + 3 \cdot C_n^2 + \dots + (n+1) \cdot C_n^n = \sum_{k=0}^{n} (k+1)C_n^k$.

Разобьем эту сумму на две части, раскрыв скобки в общем члене $(k+1)C_n^k = k \cdot C_n^k + C_n^k$:

$S = \sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k + \sum_{k=0}^{n} C_n^k$.

Теперь рассмотрим каждую сумму отдельно.

Первая сумма: $\sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k = 0 \cdot C_n^0 + 1 \cdot C_n^1 + 2 \cdot C_n^2 + \dots + n \cdot C_n^n$. Это в точности выражение из пункта 1), для которого мы уже доказали, что оно равно $n \cdot 2^{n-1}$.

$\sum_{k=0}^{n} k \cdot C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$.

Вторая сумма: $\sum_{k=0}^{n} C_n^k = C_n^0 + C_n^1 + C_n^2 + \dots + C_n^n$. Это сумма всех биномиальных коэффициентов для степени $n$. Из формулы бинома Ньютона $(1+x)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k x^k$ при $x=1$ следует, что эта сумма равна $(1+1)^n = 2^n$.

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k = 2^n$.

Теперь сложим результаты для двух сумм, чтобы найти $S$:

$S = n \cdot 2^{n-1} + 2^n$.

Представим $2^n$ как $2 \cdot 2^{n-1}$ и вынесем общий множитель $2^{n-1}$ за скобки:

$S = n \cdot 2^{n-1} + 2 \cdot 2^{n-1} = (n+2) \cdot 2^{n-1}$.

Таким образом, мы доказали исходное равенство.

Ответ: Равенство доказано.

25.10. Найдите область определения функции:

1) $y = \sqrt{10 - 3x - x^2}$; 2) $y = \frac{x}{\sqrt{2x^2 - x - 3}};

3) $y = \arcsin\frac{1}{x}$; 4) $y = \arccos\sqrt{x}.

1) Область определения функции $y = \sqrt{10 - 3x - x^2}$ находится из условия, что подкоренное выражение должно быть неотрицательным.

Решим неравенство:

$10 - 3x - x^2 \ge 0$

Умножим обе части на -1, изменив знак неравенства:

$x^2 + 3x - 10 \le 0$

Найдем корни соответствующего квадратного уравнения $x^2 + 3x - 10 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-10) = 9 + 40 = 49 = 7^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{-3 - 7}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-3 + 7}{2} = 2$

Так как ветви параболы $f(x) = x^2 + 3x - 10$ направлены вверх, неравенство $x^2 + 3x - 10 \le 0$ выполняется между корнями (включая корни).

Следовательно, $x \in [-5; 2]$.

Ответ: $D(y) = [-5; 2]$.

2) Область определения функции $y = \frac{x}{\sqrt{2x^2 - x - 3}}$ определяется двумя условиями: выражение под корнем должно быть неотрицательным, а знаменатель не должен быть равен нулю. Объединив эти условия, получаем, что выражение под корнем в знаменателе должно быть строго положительным.

Решим неравенство:

$2x^2 - x - 3 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $2x^2 - x - 3 = 0$.

Дискриминант $D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-3) = 1 + 24 = 25 = 5^2$.

Корни уравнения:

$x_1 = \frac{1 - 5}{2 \cdot 2} = \frac{-4}{4} = -1$

$x_2 = \frac{1 + 5}{2 \cdot 2} = \frac{6}{4} = 1.5$

Ветви параболы $f(x) = 2x^2 - x - 3$ направлены вверх, поэтому неравенство $2x^2 - x - 3 > 0$ выполняется вне интервала между корнями.

Следовательно, $x \in (-\infty; -1) \cup (1.5; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1) \cup (1.5; +\infty)$.

3) Область определения функции $y = \arcsin\frac{1}{x}$ находится из условия, что аргумент арксинуса должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$.

Получаем двойное неравенство:

$-1 \le \frac{1}{x} \le 1$

Это неравенство также требует, чтобы $x \neq 0$. Оно эквивалентно неравенству $|\frac{1}{x}| \le 1$, или $\frac{1}{|x|} \le 1$.

Так как $|x| > 0$, можно умножить обе части на $|x|$, сохранив знак неравенства:

$1 \le |x|$

Неравенство $|x| \ge 1$ выполняется, когда $x \ge 1$ или $x \le -1$.

Следовательно, $x \in (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

Ответ: $D(y) = (-\infty; -1] \cup [1; +\infty)$.

4) Область определения функции $y = \arccos\sqrt{x}$ определяется двумя условиями:

1. Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $x \ge 0$.

2. Аргумент арккосинуса должен принадлежать отрезку $[-1; 1]$: $-1 \le \sqrt{x} \le 1$.

Рассмотрим систему этих условий:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ -1 \le \sqrt{x} \le 1 \end{cases}$

Из первого условия $x \ge 0$ следует, что $\sqrt{x}$ определен и $\sqrt{x} \ge 0$. Поэтому левая часть второго неравенства, $\sqrt{x} \ge -1$, выполняется автоматически.

Остается решить систему:

$\begin{cases} x \ge 0 \\ \sqrt{x} \le 1 \end{cases}$

Так как обе части неравенства $\sqrt{x} \le 1$ неотрицательны, можно возвести их в квадрат:

$x \le 1^2 \implies x \le 1$

Объединяя условия $x \ge 0$ и $x \le 1$, получаем $0 \le x \le 1$.

Следовательно, $x \in [0; 1]$.

Ответ: $D(y) = [0; 1]$.

25.11. Заполните таблицу 15.

Таблица 15

Урожайность зерновых (ц/га) 9–11 11–13 13–15 15–17 17–19 19–21

Число фермерских хозяйств 4 6 11 5 3 1

Накопленная частота

1) У скольких хозяйств урожайность зерновых составила не менее 17 ц/га?

2) У скольких хозяйств урожайность зерновых была наименьшей?

3) Какова урожайность большинства хозяйств?

Сначала заполним строку "Накопленная частота" в таблице. Накопленная частота для каждого интервала вычисляется как сумма частоты (числа хозяйств) для этого интервала и всех предыдущих.

• Для интервала 9–11: накопленная частота равна 4.
• Для интервала 11–13: $4 + 6 = 10$.
• Для интервала 13–15: $10 + 11 = 21$.
• Для интервала 15–17: $21 + 5 = 26$.
• Для интервала 17–19: $26 + 3 = 29$.
• Для интервала 19–21: $29 + 1 = 30$.

Заполненная таблица 15:

1) Чтобы найти, у скольких хозяйств урожайность составила не менее 17 ц/га, нужно сложить количество хозяйств в интервалах урожайности 17–19 ц/га и 19–21 ц/га. Эти группы включают все хозяйства с урожайностью 17 ц/га и выше.

Число хозяйств в интервале 17–19 ц/га — 3.

Число хозяйств в интервале 19–21 ц/га — 1.

Суммарное количество: $3 + 1 = 4$ хозяйства.

Ответ: у 4 хозяйств.

2) Наименьшая урожайность соответствует первому интервалу в таблице, то есть 9–11 ц/га. Согласно данным таблицы, количество фермерских хозяйств с такой урожайностью составляет 4.

Ответ: у 4 хозяйств.

3) "Урожайность большинства хозяйств" соответствует модальному интервалу, то есть интервалу с наибольшей частотой (наибольшим числом хозяйств). Сравнивая значения в строке "Число фермерских хозяйств" (4, 6, 11, 5, 3, 1), мы видим, что максимальное значение — 11. Это значение соответствует интервалу урожайности 13–15 ц/га.

Ответ: 13–15 ц/га.

25.12. Решите уравнение:

1) $2\cos2x + 2\sin x\cos2x = 1 + \sin x;$

2) $4\sin^2x\cos^2x = 2.$

1) $2\cos(2x) + 2\sin x\cos(2x) = 1 + \sin x$

Перенесем все члены уравнения в левую часть:

$2\cos(2x) + 2\sin x\cos(2x) - 1 - \sin x = 0$

Сгруппируем слагаемые и вынесем общие множители за скобки:

$(2\cos(2x) + 2\sin x\cos(2x)) - (1 + \sin x) = 0$

$2\cos(2x)(1 + \sin x) - 1 \cdot (1 + \sin x) = 0$

Вынесем общий множитель $(1 + \sin x)$:

$(1 + \sin x)(2\cos(2x) - 1) = 0$

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Получаем совокупность двух уравнений:

а) $1 + \sin x = 0$

$\sin x = -1$

$x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

б) $2\cos(2x) - 1 = 0$

$2\cos(2x) = 1$

$\cos(2x) = \frac{1}{2}$

$2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2\pi k$

$2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$

$x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $x = \pm \frac{\pi}{6} + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) $4\sin^2x\cos^2x = 2$

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin \alpha \cos \alpha$:

$(2\sin x\cos x)^2 = 2$

$(\sin(2x))^2 = 2$

$\sin^2(2x) = 2$

Отсюда следует, что $\sin(2x) = \sqrt{2}$ или $\sin(2x) = -\sqrt{2}$.

Поскольку область значений функции синус находится в промежутке $[-1; 1]$, а $|\pm\sqrt{2}| \approx 1.414 > 1$, то данное уравнение не имеет действительных решений.

Ответ: нет решений.

25.13. В турнире по футболу участвовало 6 команд. Сколько всего матчей было сыграно, если турнир проходил по круговой системе?

25.13. В задаче требуется найти общее количество матчей в турнире с 6 командами, который проводится по круговой системе. Круговая система означает, что каждая команда должна сыграть с каждой другой командой ровно один раз.

Существует несколько способов решения этой задачи.

Способ 1: Арифметический подсчет

Рассмотрим каждую команду по очереди.

- Первая команда должна сыграть с 5-ю оставшимися командами. Это 5 матчей.

- Вторая команда уже сыграла с первой. Ей осталось сыграть с 4-мя командами. Это 4 новых матча.

- Третья команда уже сыграла с первой и второй. Ей осталось сыграть с 3-мя командами. Это 3 новых матча.

- Четвертая команда уже сыграла с первыми тремя. Ей осталось сыграть с 2-мя командами. Это 2 новых матча.

- Пятая команда сыграла со всеми, кроме шестой. Ей остался 1 новый матч.

- Шестая команда уже провела матчи со всеми соперниками.

Чтобы найти общее количество матчей, нужно сложить все уникальные игры:

$5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15$

Способ 2: Использование формулы комбинаторики

Каждый матч — это выбор двух команд из шести. Поскольку порядок команд в матче не имеет значения (игра "Команда А против Команды Б" — это тот же матч, что и "Команда Б против Команды А"), мы должны использовать формулу для числа сочетаний.

Формула числа сочетаний из $n$ элементов по $k$ выглядит так:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В данном случае у нас $n=6$ (общее число команд) и $k=2$ (число команд в одном матче).

Подставляем наши значения в формулу:

$C_6^2 = \frac{6!}{2!(6-2)!} = \frac{6!}{2! \cdot 4!} = \frac{6 \times 5 \times 4!}{2 \times 1 \times 4!} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Существует также специальная формула для расчета количества игр в круговом турнире, которая является упрощением комбинаторного подхода:

Количество матчей = $\frac{n \times (n-1)}{2}$, где $n$ — количество команд.

Для 6 команд:

Количество матчей = $\frac{6 \times (6-1)}{2} = \frac{6 \times 5}{2} = \frac{30}{2} = 15$

Все три способа дают одинаковый результат.

Ответ: 15 матчей.

25.14. В классе 27 учащихся, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если:

1) первый учащийся должен уметь решать тригонометрические уравнения, второй — сходить за мелом, третий — быть дежурным в классе;

2) они будут исполнять танец?

1) первый учащийся должен уметь решать тригонометрические уравнения, второй — сходить за мелом, третий — быть дежурным в классе;

В этом случае нам нужно выбрать троих учащихся из 27 и распределить их по трем различным ролям. Поскольку роли различны (первый, второй, третий), порядок выбора учащихся имеет значение. Например, если мы выберем учеников A, B и C, то ситуация, когда A решает уравнения, B идет за мелом, а C дежурит, отличается от ситуации, когда B решает уравнения, A идет за мелом и C дежурит. Следовательно, для решения этой задачи необходимо использовать формулу для числа размещений.

Число размещений из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$

В данном случае $n=27$ (общее число учащихся), а $k=3$ (количество выбираемых учащихся).

Первого учащегося на первую роль можно выбрать 27 способами. После этого второго учащегося на вторую роль можно выбрать из оставшихся 26 учеников, то есть 26 способами. Наконец, третьего учащегося на третью роль можно выбрать из оставшихся 25 учеников, то есть 25 способами.

Общее количество способов, согласно правилу умножения в комбинаторике, равно произведению числа способов для каждого выбора:

$A_{27}^3 = 27 \times 26 \times 25 = 702 \times 25 = 17550$

Таким образом, существует 17550 способов выбрать трех учащихся для выполнения этих трех различных заданий.

Ответ: 17550.

2) они будут исполнять танец?

В этом случае нам нужно просто выбрать группу из трех учащихся из 27. Порядок выбора не имеет значения, так как все трое будут выполнять одно и то же действие — исполнять танец. Группа из учеников A, B и C — это та же самая группа, что и B, A и C. Следовательно, для решения этой задачи нужно использовать формулу для числа сочетаний.

Число сочетаний из $n$ элементов по $k$ вычисляется по формуле:

$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

Подставляем наши значения: $n=27$ и $k=3$.

$C_{27}^3 = \frac{27!}{3!(27-3)!} = \frac{27!}{3! \cdot 24!} = \frac{27 \times 26 \times 25}{3 \times 2 \times 1}$

Выполним вычисления:

$C_{27}^3 = \frac{27}{3} \times \frac{26}{2} \times 25 = 9 \times 13 \times 25 = 117 \times 25 = 2925$

Таким образом, существует 2925 способов выбрать трех учащихся для исполнения танца.

Ответ: 2925.