Страница 198, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

26.13. Решите уравнение:

1) $ \arcsin (2-x) = - \frac{\pi}{3} $;

2) $ \arccos (1-2x) = \frac{\pi}{2} $.

1) Исходное уравнение: $arcsin(2-x) = -\frac{\pi}{3}$.

По определению арксинуса, если $arcsin(a) = b$, то $a = \sin(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[-\frac{\pi}{2}; \frac{\pi}{2}]$.

В нашем случае $b = -\frac{\pi}{3}$, и это значение входит в указанный отрезок, так как $-\frac{\pi}{2} \le -\frac{\pi}{3} \le \frac{\pi}{2}$.

Следовательно, уравнение равносильно следующему:

$2-x = \sin(-\frac{\pi}{3})$.

Используя свойство нечетности синуса ($\sin(-y) = -\sin(y)$) и табличное значение, находим:

$\sin(-\frac{\pi}{3}) = -\sin(\frac{\pi}{3}) = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Теперь решаем получившееся линейное уравнение:

$2-x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

$-x = -2 - \frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = 2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Также необходимо проверить, что аргумент арксинуса $2-x$ находится в допустимом диапазоне $[-1; 1]$. Подставив $x$, получаем $2-x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$. Это значение удовлетворяет условию $-1 \le -\frac{\sqrt{3}}{2} \le 1$, так как $\sqrt{3} \approx 1.732$.

Ответ: $2 + \frac{\sqrt{3}}{2}$.

2) Исходное уравнение: $arccos(1-2x) = \frac{\pi}{2}$.

По определению арккосинуса, если $arccos(a) = b$, то $a = \cos(b)$. При этом значение $b$ должно принадлежать отрезку $[0; \pi]$.

В нашем случае $b = \frac{\pi}{2}$, и это значение входит в указанный отрезок, так как $0 \le \frac{\pi}{2} \le \pi$.

Следовательно, уравнение равносильно следующему:

$1-2x = \cos(\frac{\pi}{2})$.

Известно, что $\cos(\frac{\pi}{2}) = 0$.

Получаем простое линейное уравнение:

$1-2x = 0$

$1 = 2x$

$x = \frac{1}{2}$.

Проверим, что аргумент арккосинуса $1-2x$ находится в допустимом диапазоне $[-1; 1]$. Подставив $x = \frac{1}{2}$, получаем $1 - 2(\frac{1}{2}) = 1-1=0$. Значение $0$ удовлетворяет условию $-1 \le 0 \le 1$.

Ответ: $\frac{1}{2}$.

26.14. В шахматном турнире участвовало 10 игроков. Сколько всего игр было проведено, если турнир проходил по круговой системе?

26.14. В шахматном турнире, который проходит по круговой системе, каждый участник играет с каждым другим участником ровно один раз. Нам нужно найти общее количество сыгранных партий, если в турнире участвуют 10 игроков.

Эту задачу можно решить несколькими способами.

Способ 1: Логический подсчет

Первый игрок сыграет 9 партий (со всеми остальными).

Второй игрок сыграет 8 новых партий (так как его партия с первым игроком уже учтена).

Третий игрок сыграет 7 новых партий (его партии с первым и вторым уже учтены).

И так далее, до девятого игрока, который сыграет одну последнюю новую партию с десятым игроком. Десятый игрок к этому моменту уже сыграет со всеми.

Суммируем количество партий: $9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45$.

Способ 2: Использование комбинаторики

Каждая партия — это выбор двух игроков из десяти, причём порядок игроков в паре не важен (партия "Игрок А против Игрока Б" — это то же самое, что и "Игрок Б против Игрока А"). Следовательно, нам нужно найти число сочетаний из 10 элементов по 2.

Формула для числа сочетаний из $n$ по $k$ выглядит так: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$

В нашем случае, общее число игроков $n = 10$, а в каждой партии участвует $k = 2$ игрока.

Подставляем наши значения в формулу: $C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10!}{2! \cdot 8!}$

Раскроем факториалы и сократим: $C_{10}^2 = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8!}{2 \cdot 1 \cdot 8!} = \frac{10 \cdot 9}{2}$

Вычисляем результат: $C_{10}^2 = \frac{90}{2} = 45$

Оба способа дают одинаковый результат. Всего было проведено 45 игр.

Ответ: 45.

26.15. В классе 27 учащихся, из которых 15 девочек. Нужно выбрать одного учащегося для участия в соревнованиях по легкой атлетике. Найдите вероятность того, что это будет:

1) мальчик;

2) девочка.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$.

В данном случае общее число исходов $n$ равно общему количеству учащихся в классе, то есть $n = 27$.

1) мальчик;

Сначала определим количество мальчиков в классе. Для этого из общего числа учащихся вычтем количество девочек:

$27 - 15 = 12$ мальчиков.

Число благоприятных исходов (выбор мальчика) $m = 12$.

Теперь вычислим вероятность того, что выбранный учащийся — мальчик:

$P(\text{мальчик}) = \frac{12}{27}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$P(\text{мальчик}) = \frac{12 \div 3}{27 \div 3} = \frac{4}{9}$

Ответ: $\frac{4}{9}$

2) девочка.

По условию, в классе 15 девочек. Таким образом, число благоприятных исходов (выбор девочки) $m = 15$.

Вычислим вероятность того, что выбранный учащийся — девочка:

$P(\text{девочка}) = \frac{15}{27}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$P(\text{девочка}) = \frac{15 \div 3}{27 \div 3} = \frac{5}{9}$

Ответ: $\frac{5}{9}$