Страница 205, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

ПОДГОТОВЬТЕ СООБЩЕНИЕ

27.22.

На изображении представлен портрет Абрахама де Муавра (1667–1754) — выдающегося французского и английского математика, который внёс фундаментальный вклад в развитие теории вероятностей, тригонометрии и математического анализа. Его работы оказали значительное влияние на последующие поколения учёных.

Биография

Абрахам де Муавр родился 26 мая 1667 года в городе Витри-ле-Франсуа (провинция Шампань, Франция) в семье врача-протестанта (гугенота). После отмены Нантского эдикта в 1685 году, который предоставлял гугенотам свободу вероисповедания, во Франции начались религиозные преследования. Де Муавр был заключён в тюрьму. После освобождения в 1688 году он был вынужден эмигрировать и переехал в Лондон, где прожил оставшуюся часть жизни.

В Англии де Муавр зарабатывал на жизнь частными уроками математики. Он быстро заслужил репутацию блестящего учёного и стал другом таких выдающихся деятелей науки, как Исаак Ньютон и Эдмонд Галлей. В 1697 году его избрали членом Лондонского королевского общества. Несмотря на признание в научных кругах, из-за своего иностранного происхождения он так и не смог получить академическую должность в университете и до конца жизни испытывал финансовые трудности. Умер Абрахам де Муавр 27 ноября 1754 года в Лондоне.

Научный вклад

Научные достижения де Муавра охватывают несколько ключевых областей математики.

1. Формула Муавра. Это самое известное его открытие, которое устанавливает связь между комплексными числами и тригонометрией. Формула гласит, что для любого действительного числа $x$ и любого целого числа $n$ справедливо равенство: $ (\cos x + i \sin x)^n = \cos(nx) + i \sin(nx) $ где $i$ — мнимая единица ($i^2 = -1$). Эта формула является мощным инструментом для возведения комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме, в степень, а также для нахождения корней из них. Она находит широкое применение в математике, физике и инженерии.

2. Теория вероятностей. Де Муавр является одним из основоположников теории вероятностей как самостоятельной математической дисциплины. Его книга «The Doctrine of Chances» («Учение о случаях», 1718) стала на долгое время основным учебником в этой области. В этой работе он впервые ввёл понятие независимости событий и проанализировал множество задач, связанных с азартными играми. Величайшим вкладом де Муавра в теорию вероятностей считается доказательство частного случая центральной предельной теоремы, известного как теорема Муавра — Лапласа. Он показал, что нормальное распределение (кривая Гаусса) может служить хорошим приближением для биномиального распределения при большом числе испытаний. Этот результат заложил основы математической статистики.

3. Анализ и числовые последовательности. Де Муавр также получил ряд важных результатов в математическом анализе. В частности, он нашёл формулу для вычисления любого члена последовательности Фибоначчи без необходимости вычислять все предыдущие. Эта формула сегодня известна как «формула Бине», хотя де Муавр открыл её раньше.

Ответ: В сообщении представлена развернутая информация о биографии и ключевых научных достижениях французского и английского математика Абрахама де Муавра. Главными его вкладами являются формула Муавра, связывающая комплексные числа и тригонометрию, а также основополагающие работы в области теории вероятностей, включая теорему Муавра — Лапласа.

27.23. Каким (невозможным, достоверным или случайным) является событие — бросают две игральные кости:

1) на первой кости выпало 5 очков, на второй — 1 очко;

2) значение суммы выпавших на двух костях очков равно 1;

3) значение суммы выпавших на двух костях очков равно 11;

4) значение суммы выпавших на двух костях очков меньше 14?

1) на первой кости выпало 5 очков, на второй — 1 очко;

При броске стандартной игральной кости на каждой грани нанесено число очков от 1 до 6. Событие, при котором на первой кости выпадает 5 очков, а на второй — 1 очко, является одним из возможных исходов. Всего при броске двух костей существует $6 \times 6 = 36$ равновероятных исходов. Данный исход (5, 1) — один из них. Поскольку событие может произойти, оно не является невозможным. Так как существуют и другие исходы (например, (1, 1), (2, 3) и т.д.), оно не является достоверным. Следовательно, это случайное событие.

Ответ: случайное.

2) значение суммы выпавших на двух костях очков равно 1;

Минимальное количество очков, которое может выпасть на одной игральной кости, равно 1. При броске двух костей минимально возможная сумма очков — это сумма минимальных значений на каждой кости: $1 + 1 = 2$. Получить в сумме 1 очко невозможно, так как это потребовало бы, чтобы на одной из костей выпало 0 очков или отрицательное значение, что исключено. Таким образом, это событие не может произойти ни при каких обстоятельствах.

Ответ: невозможное.

3) значение суммы выпавших на двух костях очков равно 11;

Чтобы сумма очков на двух костях была равна 11, возможны следующие комбинации: на первой кости выпало 5, а на второй 6, или на первой кости выпало 6, а на второй 5. Поскольку существуют исходы, при которых данное событие наступает, оно не является невозможным. Однако, так как возможны и другие суммы (например, $1 + 1 = 2$ или $3 + 4 = 7$), это событие не является достоверным. Оно может произойти, а может и не произойти.

Ответ: случайное.

4) значение суммы выпавших на двух костях очков меньше 14?

Максимальное количество очков, которое может выпасть на одной кости, — 6. Следовательно, максимальная возможная сумма очков при броске двух костей равна сумме максимальных значений: $6 + 6 = 12$. Минимальная сумма равна $1 + 1 = 2$. Таким образом, любая возможная сумма очков будет находиться в пределах от 2 до 12. Поскольку любое число из этого диапазона (включая 12) строго меньше 14, это событие произойдет при любом исходе броска. Оно гарантировано.

Ответ: достоверное.

27.24. Каким (невозможным, достоверным или случайным) является событие — случайным образом открывается учебник казахского языка и находится второе слово на левой странице. Это слово начинается:

1) с буквы: “Ә” или “Қ”;

2) с буквы “Ъ”.

1) с буквы: “Ә” или “Қ”;

Чтобы классифицировать данное событие, необходимо проанализировать его условия. Событие состоит в том, что при случайном открытии учебника казахского языка второе слово на левой странице будет начинаться с буквы “Ә” или “Қ”.

Буквы “Ә” и “Қ” являются частью казахского алфавита. В казахском языке существует множество слов, начинающихся с этих букв. Например, әке (отец), әдемі (красивый), қала (город), қыс (зима). Следовательно, в учебнике казахского языка такие слова обязательно встретятся.

Таким образом, событие, при котором второе слово на странице начнется с одной из этих букв, вполне может произойти. Однако это событие не является достоверным, потому что второе слово может начинаться и с любой другой буквы алфавита (например, “А”, “Б”, “Д” и т.д.). Также оно не является невозможным, так как мы установили, что такие слова существуют и могут оказаться на указанном месте.

Событие, которое в результате опыта может произойти, а может и не произойти, называется случайным. Вероятность такого события $P$ больше нуля, но меньше единицы ($0 < P < 1$).

Ответ: случайное событие.

2) с буквы “Ь”.

Рассмотрим второе событие: второе слово на случайно открытой левой странице учебника казахского языка начинается с буквы “Ь” (мягкий знак).

В правилах орфографии казахского языка (как и русского) нет слов, которые начинаются с мягкого знака (“Ь”). Эта буква не обозначает самостоятельного звука, а служит для указания мягкости предшествующего согласного и может находиться только в середине или в конце слова, преимущественно в заимствованиях.

Поскольку ни одно слово в казахском языке не начинается с буквы “Ь”, то найти такое слово в учебнике на любой его странице невозможно.

Событие, которое не может произойти ни при каких условиях, называется невозможным. Вероятность невозможного события $P$ равна нулю ($P = 0$).

Ответ: невозможное событие.

27.25. Из следующих событий: 1) “наступило утро”; 2) “сегодня по расписанию 10 уроков”; 3) “сегодня 1 января”; 4) “температура воздуха в г. Алматы $ + 35^\circ$” составьте все возможные пары совместных событий и пары несовместных событий.

Для определения пар совместных и несовместных событий необходимо проанализировать, могут ли события из каждой возможной пары происходить одновременно. Совместные события могут наступать одновременно, в то время как несовместные — не могут.

Даны следующие события:

1) “наступило утро”

2) “сегодня по расписанию 10 уроков”

3) “сегодня 1 января”

4) “температура воздуха в г. Алматы +35°”

Пары совместных событий

Совместными называются события, которые могут произойти одновременно в рамках одного и того же испытания. Рассмотрим такие пары:

• Пара (1, 2): “наступило утро” и “сегодня по расписанию 10 уроков”. Эти события совместны, так как учебный день, даже с 10 уроками, начинается утром.

• Пара (1, 3): “наступило утро” и “сегодня 1 января”. Эти события совместны, поскольку у любого дня, включая 1 января, есть утро.

• Пара (1, 4): “наступило утро” и “температура воздуха в г. Алматы +35°”. Эти события совместны. В летний период в Алматы температура может достигать +35° уже в утренние часы.

• Пара (2, 4): “сегодня по расписанию 10 уроков” и “температура воздуха в г. Алматы +35°”. Эти события можно считать совместными. Хотя в общеобразовательных школах в жаркую погоду (+35°) обычно каникулы, в некоторых учебных заведениях (например, в университетах во время сессии, на летних курсах или в специализированных школах) занятия могут проводиться.

Ответ: Парами совместных событий являются: (“наступило утро”, “сегодня по расписанию 10 уроков”); (“наступило утро”, “сегодня 1 января”); (“наступило утро”, “температура воздуха в г. Алматы +35°”); (“сегодня по расписанию 10 уроков”, “температура воздуха в г. Алматы +35°”).

Пары несовместных событий

Несовместными называются события, которые не могут произойти одновременно. Рассмотрим такие пары:

• Пара (2, 3): “сегодня по расписанию 10 уроков” и “сегодня 1 января”. Эти события несовместны. 1 января — официальный государственный праздник и часть зимних школьных каникул, поэтому учебные занятия в этот день не проводятся.

• Пара (3, 4): “сегодня 1 января” и “температура воздуха в г. Алматы +35°”. Эти события несовместны. Город Алматы находится в Северном полушарии, где январь является зимним месяцем. Температура +35°С характерна для лета, и её достижение в середине зимы климатически невозможно.

Ответ: Парами несовместных событий являются: (“сегодня по расписанию 10 уроков”, “сегодня 1 января”); (“сегодня 1 января”, “температура воздуха в г. Алматы +35°”).

27.26. Разложите многочлен на множители:

1) $x^3 - 3x + 2;$

2) $x^3 + 2x^2 - 9x - 18;$

3) $x^3 - 3x^2 + 2x - 6.$

1) Для разложения многочлена $x^3 - 3x + 2$ на множители, сначала найдем один из его целых корней. Согласно теореме о рациональных корнях, они должны быть делителями свободного члена, то есть числа 2. Возможные целые корни: $\pm1, \pm2$.

Проверим $x=1$:

$1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Поскольку $x=1$ является корнем, то многочлен делится на $(x-1)$ без остатка. Для нахождения частного можно применить метод группировки, представив $-3x$ как $-x - 2x$:

$x^3 - 3x + 2 = x^3 - x - 2x + 2 = (x^3 - x) - (2x - 2)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(x^2 - 1) - 2(x - 1)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к выражению $x^2 - 1$:

$x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x - 1)(x(x + 1) - 2) = (x - 1)(x^2 + x - 2)$.

Осталось разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 2$. Его корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Следовательно:

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2)$.

Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена:

$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2(x + 2)$.

Ответ: $(x - 1)^2(x + 2)$.

2) Для разложения многочлена $x^3 + 2x^2 - 9x - 18$ используем метод группировки слагаемых. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + 2x^2) + (-9x - 18)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 9(x + 2)$.

Теперь мы видим общий множитель $(x + 2)$, который можно вынести за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 9)$.

Второе выражение в скобках, $x^2 - 9$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставляя это в наше выражение, получаем окончательный результат:

$(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.

Ответ: $(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.

3) Для разложения многочлена $x^3 - 3x^2 + 2x - 6$ также применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(x^3 - 3x^2) + (2x - 6)$.

Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$x^2(x - 3) + 2(x - 3)$.

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 + 2)$.

Многочлен $x^2 + 2$ не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами, поскольку он не имеет действительных корней (дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -8 < 0$).

Следовательно, полученное выражение является окончательным разложением на множители.

Ответ: $(x - 3)(x^2 + 2)$.

27.27. Найдите вероятность выбора четной цифры из набора цифр:

1) 1; 2; 3; 6; 7; 9;

2) 0; 3; 4; 5; 6; 7; 9.

Вероятность события определяется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула для расчета вероятности: $P(A) = m/n$, где $m$ - число благоприятных исходов (выбор четной цифры), а $n$ - общее число исходов (общее количество цифр в наборе).

Четные цифры — это 0, 2, 4, 6, 8.

1) Дан набор цифр: {1; 2; 3; 6; 7; 9}.

Общее число цифр в наборе $n = 6$.

Найдем количество четных цифр в этом наборе. Это цифры 2 и 6. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 2$.

Вычислим вероятность выбора четной цифры:

$P = m/n = 2/6 = 1/3$.

Ответ: $1/3$.

2) Дан набор цифр: {0; 3; 4; 5; 6; 7; 9}.

Общее число цифр в наборе $n = 7$.

Найдем количество четных цифр в этом наборе. Это цифры 0, 4 и 6. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 3$.

Вычислим вероятность выбора четной цифры:

$P = m/n = 3/7$.

Ответ: $3/7$.