Страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

27.6. Среди 100 лотерейных билетов, где только 10 выигрышных, куплено 3 билета. Рассматриваются события: А — выиграл первый билет; В — выиграл второй билет; С — выиграл третий билет. Найдите вероятность того, что выиграет только третий билет.

Для решения задачи необходимо найти вероятность наступления последовательности из трех событий: первый купленный билет оказался проигрышным, второй — тоже проигрышным, а третий — выигрышным. Так как билеты извлекаются из общей совокупности без возвращения, эти события являются зависимыми. Для расчета итоговой вероятности используется теорема умножения вероятностей.

Исходные данные:

Всего билетов: 100.

Выигрышных билетов: 10.

Проигрышных билетов: $100 - 10 = 90$.

1. Найдем вероятность того, что первый билет — проигрышный.На момент первого извлечения имеется 90 проигрышных билетов из 100. Вероятность этого события:$P_1 = \frac{90}{100}$

2. Найдем вероятность того, что второй билет — проигрышный, при условии, что первый уже был проигрышным.После первого извлечения осталось 99 билетов, из них 89 проигрышных. Вероятность этого события:$P_2 = \frac{89}{99}$

3. Найдем вероятность того, что третий билет — выигрышный, при условии, что первые два были проигрышными.После двух извлечений осталось 98 билетов, среди которых все еще 10 выигрышных. Вероятность этого события:$P_3 = \frac{10}{98}$

Искомая вероятность того, что выиграет только третий билет, равна произведению вероятностей этих трех событий:$P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{10}{98}$

Упростим полученное выражение:$P = \frac{90 \cdot 89 \cdot 10}{100 \cdot 99 \cdot 98} = \frac{9 \cdot \cancel{10}}{100} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{10}{98} = \frac{9}{10} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{10}{98} = \frac{\cancel{9}}{\cancel{10}} \cdot \frac{89}{\cancel{99}_{11}} \cdot \frac{\cancel{10}}{98} = \frac{89}{11 \cdot 98} = \frac{89}{1078}$

Ответ: $\frac{89}{1078}$

27.7. В каждой из двух коробок находятся по 5 кубиков — 2 синих, зеленый, белый и красный. Выбирается случайным образом коробка и из нее вынимается кубик. Найдите вероятность того, что:

1) будет вынут белый кубик;

2) будет выбрана вторая коробка и из нее вынут синий кубик.

В задаче рассматривается двухэтапный случайный эксперимент. Сначала выбирается одна из двух коробок, затем из нее вынимается один кубик. В каждой коробке находится по 5 кубиков: 2 синих, 1 зеленый, 1 белый и 1 красный.

1) будет вынут белый кубик;

Пусть событие $A$ заключается в том, что был вынут белый кубик. Это событие может произойти двумя способами: либо была выбрана первая коробка и из нее вынут белый кубик, либо была выбрана вторая коробка и из нее вынут белый кубик.

Вероятность выбрать первую коробку равна $P_1 = \frac{1}{2}$. Вероятность выбрать вторую коробку также равна $P_2 = \frac{1}{2}$.

В каждой коробке 1 белый кубик из 5. Поэтому условная вероятность вынуть белый кубик, если выбрана первая коробка, равна $\frac{1}{5}$. Аналогично, условная вероятность вынуть белый кубик, если выбрана вторая коробка, также равна $\frac{1}{5}$.

По формуле полной вероятности, искомая вероятность $P(A)$ равна сумме произведений вероятностей выбора каждой коробки на условную вероятность извлечения белого кубика из этой коробки:

$P(A) = P_1 \cdot P(A|P_1) + P_2 \cdot P(A|P_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Так как состав кубиков в обеих коробках идентичен, вероятность вынуть белый кубик не зависит от того, какая коробка была выбрана, и равна отношению числа белых кубиков к общему числу кубиков в одной коробке.

Ответ: $\frac{1}{5}$

2) будет выбрана вторая коробка и из нее вынут синий кубик.

Это событие является произведением двух зависимых событий: событие $B_2$ – "выбрана вторая коробка" и событие $C$ – "из выбранной коробки вынут синий кубик".

Вероятность выбрать вторую коробку равна $P(B_2) = \frac{1}{2}$.

Во второй коробке находятся 2 синих кубика из 5. Следовательно, условная вероятность вынуть синий кубик при условии, что была выбрана вторая коробка, равна $P(C|B_2) = \frac{2}{5}$.

Вероятность того, что произойдут оба этих события, находится по формуле произведения вероятностей:

$P(B_2 \cap C) = P(B_2) \cdot P(C|B_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$

27.8. При включении зажигания двигатель начнет работать с вероятностью 0,9. Какова вероятность того, что для запуска автомобиля придется включать зажигание не более трех раз?

Пусть событие $A$ заключается в том, что двигатель начинает работать при включении зажигания. По условию, вероятность этого события $p = P(A) = 0,9$.

Вероятность того, что двигатель не начнет работать (противоположное событие), равна $q = 1 - p = 1 - 0,9 = 0,1$.

Событие "для запуска автомобиля придется включать зажигание не более трех раз" означает, что двигатель запустится либо с первой попытки, либо со второй, либо с третьей. Это три несовместных (взаимоисключающих) события, поэтому их вероятности можно сложить.

Рассмотрим каждое из этих событий:

1. Двигатель запустился с первой попытки. Вероятность этого равна $P_1 = p = 0,9$.

2. Двигатель запустился со второй попытки. Это означает, что первая попытка была неудачной, а вторая — удачной. Так как попытки являются независимыми событиями, вероятность этого равна произведению вероятностей: $P_2 = q \cdot p = 0,1 \cdot 0,9 = 0,09$.

3. Двигатель запустился с третьей попытки. Это означает, что первые две попытки были неудачными, а третья — удачной. Вероятность этого равна $P_3 = q \cdot q \cdot p = q^2 \cdot p = (0,1)^2 \cdot 0,9 = 0,01 \cdot 0,9 = 0,009$.

Искомая вероятность $P$ равна сумме вероятностей этих трех событий:

$P = P_1 + P_2 + P_3 = 0,9 + 0,09 + 0,009 = 0,999$.

Альтернативный способ решения (через противоположное событие):

Противоположным событием для "двигатель запустится не более чем за три попытки" является событие "двигатель не запустится за три попытки".

Это означает, что все три попытки были неудачными. Вероятность этого события равна:

$P_{прот.} = q \cdot q \cdot q = q^3 = (0,1)^3 = 0,001$.

Искомая вероятность является дополнением к вероятности противоположного события до 1:

$P = 1 - P_{прот.} = 1 - 0,001 = 0,999$.

Ответ: $0,999$.

27.9. Оператор, обслуживающий три станка, вынужден был отлучиться на некоторое время. Вероятности того, что станки за это время не потребуют внимания рабочего, равны 0,7; 0,8; 0,8. Найдите вероятность того, что за время отсутствия оператора ни один станок не потребует внимания.

Для решения этой задачи введем следующие события:

$A_1$ – событие, заключающееся в том, что первый станок не потребует внимания во время отсутствия оператора.

$A_2$ – событие, заключающееся в том, что второй станок не потребует внимания.

$A_3$ – событие, заключающееся в том, что третий станок не потребует внимания.

Согласно условию задачи, вероятности этих событий равны:

$P(A_1) = 0,7$

$P(A_2) = 0,8$

$P(A_3) = 0,8$

Мы ищем вероятность того, что за время отсутствия оператора ни один станок не потребует внимания. Это означает, что должны произойти все три события одновременно: и первый станок не потребует внимания, и второй, и третий. Работа каждого станка является независимым событием по отношению к другим станкам.

Событие $A$, которое заключается в том, что ни один станок не потребует внимания, является произведением (пересечением) трех независимых событий $A_1$, $A_2$ и $A_3$.

Вероятность произведения независимых событий равна произведению их вероятностей. Формула для вычисления искомой вероятности $P(A)$ выглядит следующим образом:

$P(A) = P(A_1 \cap A_2 \cap A_3) = P(A_1) \cdot P(A_2) \cdot P(A_3)$

Теперь подставим числовые значения в формулу и произведем расчет:

$P(A) = 0,7 \cdot 0,8 \cdot 0,8$

$P(A) = 0,56 \cdot 0,8$

$P(A) = 0,448$

Таким образом, вероятность того, что за время отсутствия оператора ни один станок не потребует внимания, составляет 0,448.

Ответ: 0,448

27.10. При увеличении напряжения в два раза может произойти разрыв электрической цепи из-за выхода из строя одного из трех последовательно соединенных элементов, соответственно с вероятностями 0,4; 0,3; 0,5. Найдите вероятность того, что в этом случае не произойдет разрыва цепи.

Для того чтобы найти вероятность того, что не произойдет разрыва цепи, необходимо определить, при каком условии цепь остается работоспособной. В условии сказано, что три элемента соединены последовательно. При последовательном соединении электрическая цепь работает только в том случае, если все ее элементы исправны. Если хотя бы один элемент выходит из строя, цепь разрывается.

Введем следующие события:

Событие $A_1$ – выход из строя первого элемента. Вероятность этого события по условию $P(A_1) = 0,4$.

Событие $A_2$ – выход из строя второго элемента. Вероятность этого события $P(A_2) = 0,3$.

Событие $A_3$ – выход из строя третьего элемента. Вероятность этого события $P(A_3) = 0,5$.

Найдем вероятности событий, противоположных данным, то есть вероятности того, что каждый из элементов останется в рабочем состоянии. Обозначим эти события как $\bar{A_1}$, $\bar{A_2}$ и $\bar{A_3}$.

Вероятность того, что первый элемент не выйдет из строя, равна:

$P(\bar{A_1}) = 1 - P(A_1) = 1 - 0,4 = 0,6$

Вероятность того, что второй элемент не выйдет из строя, равна:

$P(\bar{A_2}) = 1 - P(A_2) = 1 - 0,3 = 0,7$

Вероятность того, что третий элемент не выйдет из строя, равна:

$P(\bar{A_3}) = 1 - P(A_3) = 1 - 0,5 = 0,5$

Событие, заключающееся в том, что разрыва цепи не произойдет, состоит в одновременном выполнении всех трех условий: первый элемент исправен, И второй элемент исправен, И третий элемент исправен. Так как выход из строя каждого элемента является независимым событием, то и их исправная работа также является независимыми событиями. Вероятность одновременного наступления нескольких независимых событий равна произведению их вероятностей.

Таким образом, искомая вероятность того, что цепь не разорвется, равна:

$P(\text{нет разрыва}) = P(\bar{A_1}) \cdot P(\bar{A_2}) \cdot P(\bar{A_3})$

Подставим числовые значения:

$P(\text{нет разрыва}) = 0,6 \cdot 0,7 \cdot 0,5 = 0,21$

Ответ: 0,21

1) Пусть событие $A$ заключается в том, что первый спортсмен поразил мишень, а событие $B$ – в том, что второй спортсмен поразил мишень. По условию задачи, вероятности этих событий равны $P(A) = 0,7$ и $P(B) = 0,8$. Так как выстрелы производятся одновременно, события считаются независимыми.

Нам необходимо найти вероятность того, что в мишень попадет только один из спортсменов. Это означает, что произойдет одно из двух несовместных (взаимоисключающих) событий:

1. Первый спортсмен попал, а второй промахнулся.
2. Первый спортсмен промахнулся, а второй попал.

Сначала найдем вероятности промахов для каждого спортсмена. Вероятность промаха – это событие, противоположное попаданию, поэтому его вероятность равна $1$ минус вероятность попадания.

Вероятность промаха первого спортсмена: $P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$.

Вероятность промаха второго спортсмена: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Теперь вычислим вероятности для каждого из двух сценариев. Поскольку события независимы, мы можем перемножать их вероятности:

• Вероятность того, что первый попал, а второй промахнулся: $P(A \cap \bar{B}) = P(A) \cdot P(\bar{B}) = 0,7 \cdot 0,2 = 0,14$.
• Вероятность того, что первый промахнулся, а второй попал: $P(\bar{A} \cap B) = P(\bar{A}) \cdot P(B) = 0,3 \cdot 0,8 = 0,24$.

Искомая вероятность того, что попадет только один спортсмен, равна сумме вероятностей этих двух несовместных событий:

$P(\text{только один попал}) = P(A \cap \bar{B}) + P(\bar{A} \cap B) = 0,14 + 0,24 = 0,38$.

Ответ: 0,38

2) Обозначим события: $C$ – первый стрелок попал в цель, $D$ – второй стрелок попал в цель. По условию, вероятности этих событий равны $P(C) = 0,9$ и $P(D) = 0,8$. Выстрелы производятся независимо друг от друга.

Требуется найти вероятность события "попадания в цель хотя бы одного стрелка". Это событие включает в себя три возможных исхода: попал только первый, попал только второй, или попали оба.

Проще всего решить эту задачу, рассмотрев противоположное событие – "оба стрелка промахнулись". Вероятность искомого события будет равна $1$ минус вероятность противоположного события.

Найдем вероятности промахов для каждого стрелка:

• Вероятность промаха первого стрелка: $P(\bar{C}) = 1 - P(C) = 1 - 0,9 = 0,1$.
• Вероятность промаха второго стрелка: $P(\bar{D}) = 1 - P(D) = 1 - 0,8 = 0,2$.

Вероятность того, что оба стрелка промахнутся, равна произведению вероятностей их промахов, так как события независимы:

$P(\bar{C} \cap \bar{D}) = P(\bar{C}) \cdot P(\bar{D}) = 0,1 \cdot 0,2 = 0,02$.

Следовательно, вероятность того, что хотя бы один стрелок попадет в цель, равна:

$P(\text{хотя бы один попал}) = 1 - P(\bar{C} \cap \bar{D}) = 1 - 0,02 = 0,98$.

Ответ: 0,98

27.12. Среди 100 лотерейных билетов есть 20 выигрышных:

1) Найдите вероятность того, что три наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

2) Найдите вероятность того, что среди двух наудачу выбранных билетов есть выигрышные.

1) Найдите вероятность того, что три наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число способов выбрать 3 билета из 100 — это число сочетаний из 100 по 3, которое обозначается $C_{100}^3$.

$n = C_{100}^3 = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 100 \cdot 33 \cdot 49 = 161700$.

Число благоприятствующих исходов — это количество способов выбрать 3 выигрышных билета из 20 имеющихся. Это число сочетаний $C_{20}^3$.

$m = C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \cdot 19 \cdot 3 = 1140$.

Искомая вероятность равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{m}{n} = \frac{1140}{161700} = \frac{114}{16170} = \frac{19}{2695}$.

Ответ: $\frac{19}{2695}$.

2) Найдите вероятность того, что среди двух наудачу выбранных билетов есть выигрышные.

Событие "среди двух наудачу выбранных билетов есть выигрышные" означает, что выигрышным может быть один или оба билета. Проще найти вероятность противоположного события $A'$, которое заключается в том, что "оба выбранных билета не являются выигрышными". Искомая вероятность $P(A)$ будет равна $1 - P(A')$.

Всего в лотерее 100 билетов, из них 20 выигрышных и, следовательно, $100 - 20 = 80$ невыигрышных.

Найдем вероятность события $A'$. Общее число способов выбрать 2 билета из 100 равно $n = C_{100}^2$.

$n = C_{100}^2 = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950$.

Число способов выбрать 2 невыигрышных билета из 80 равно $m' = C_{80}^2$.

$m' = C_{80}^2 = \frac{80 \cdot 79}{2} = 40 \cdot 79 = 3160$.

Вероятность того, что оба билета невыигрышные, равна:

$P(A') = \frac{m'}{n} = \frac{3160}{4950} = \frac{316}{495}$.

Тогда искомая вероятность $P(A)$, что среди двух билетов есть хотя бы один выигрышный, равна:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{316}{495} = \frac{495 - 316}{495} = \frac{179}{495}$.

Ответ: $\frac{179}{495}$.

27.13. Подбрасываются одновременно два игровых кубика. Найдите вероятность того, что одновременно выпадут числа:

1) две двойки;

2) три и четыре.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$.

При одновременном подбрасывании двух игральных костей (кубиков) общее число равновозможных исходов равно произведению числа исходов для каждой кости. Поскольку у каждой кости 6 граней, общее число исходов $n$ составляет:

$n = 6 \times 6 = 36$.

1) две двойки

Событие, при котором выпадают две двойки, означает, что на первом кубике выпало число 2, и на втором кубике также выпало число 2. Этому событию благоприятствует только один исход: (2; 2).

Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 1$.

Вероятность этого события равна:

$P_1 = \frac{m}{n} = \frac{1}{36}$.

Ответ: $\frac{1}{36}$.

2) три и четыре

Событие, при котором выпадают числа три и четыре, может произойти двумя способами:

1. На первом кубике выпало 3, а на втором – 4. Исход: (3; 4).

2. На первом кубике выпало 4, а на втором – 3. Исход: (4; 3).

Таким образом, число благоприятствующих исходов $m = 2$.

Вероятность этого события равна:

$P_2 = \frac{m}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$.