Страница 207, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях используется формула полной вероятности?

2. В каких случаях используется формула Байеса?

3. Запишите формулу Байеса. Почему эту формулу называют формулой гипотез?

1. В каких случаях используется формула полной вероятности?

Формула полной вероятности используется в тех случаях, когда необходимо найти вероятность некоторого события $A$, которое может произойти только совместно с одним из нескольких несовместных событий (гипотез) $H_1, H_2, \dots, H_n$, образующих полную группу. Полная группа событий означает, что в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно из этих событий, то есть $\sum_{i=1}^{n} P(H_i) = 1$.

Для применения формулы должны быть известны:

1. Вероятности каждой из гипотез $P(H_i)$ (их называют априорными, то есть доопытными, вероятностями).

2. Условные вероятности события $A$ при условии, что та или иная гипотеза осуществилась, то есть $P(A|H_i)$.

Формула позволяет вычислить "полную", или безусловную, вероятность события $A$, суммируя вероятности его наступления при каждой из возможных гипотез, взвешенные по вероятностям самих гипотез.

Сама формула выглядит так: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i)P(A|H_i) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + \dots + P(H_n)P(A|H_n)$.

Ответ: Формула полной вероятности используется для нахождения вероятности события $A$, которое может наступить в результате осуществления одной из гипотез $H_1, H_2, \dots, H_n$, образующих полную группу несовместных событий.

2. В каких случаях используется формула Байеса?

Формула Байеса (или теорема Байеса) используется для "обратной" задачи. Она применяется тогда, когда событие $A$ уже произошло в результате некоторого опыта, и необходимо переоценить вероятности гипотез $H_1, H_2, \dots, H_n$, которые могли привести к этому событию.

Другими словами, если до опыта мы имели априорные (доопытные) вероятности гипотез $P(H_i)$, то после того, как стало известно, что событие $A$ произошло, мы можем вычислить апостериорные (послеопытные) условные вероятности этих гипотез $P(H_k|A)$. Формула Байеса позволяет найти вероятность того, что событие $A$ было вызвано именно конкретной гипотезой $H_k$.

Например, если мы вытащили из партии деталей бракованную деталь (событие $A$), формула Байеса позволяет определить, с какой вероятностью эта деталь была произведена на первом станке (гипотеза $H_1$), на втором (гипотеза $H_2$) и т.д.

Ответ: Формула Байеса используется для пересчета вероятностей гипотез после того, как становится известным результат опыта (то есть событие $A$ уже произошло). Она позволяет найти условную вероятность гипотезы при условии, что событие $A$ наступило.

3. Запишите формулу Байеса. Почему эту формулу называют формулой гипотез?

Формула Байеса для вычисления апостериорной вероятности гипотезы $H_k$ при условии, что событие $A$ произошло, имеет вид:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k)P(A|H_k)}{P(A)}$

где $P(A)$ — полная вероятность события $A$, вычисляемая по формуле полной вероятности: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i)P(A|H_i)$.

Таким образом, развернутая форма формулы Байеса выглядит так:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k)P(A|H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(H_i)P(A|H_i)}$

Эту формулу называют "формулой гипотез" потому, что она непосредственно работает с вероятностями гипотез. События $H_1, H_2, \dots, H_n$ представляют собой исчерпывающий набор взаимоисключающих предположений (гипотез) о том, в каких условиях произошло событие $A$. Формула позволяет оценить, какая из этих гипотез является наиболее вероятной причиной наступления наблюдаемого события $A$. То есть она вычисляет именно вероятность гипотезы ($P(H_k|A)$) на основе полученных данных (события $A$).

Ответ: Формула Байеса: $P(H_k|A) = \frac{P(H_k)P(A|H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(H_i)P(A|H_i)}$. Ее называют формулой гипотез, так как она позволяет вычислить или переоценить вероятность каждой из конкурирующих гипотез $H_k$ после получения результата эксперимента.

28.1. В трех коробках имеются шары. В первой коробке 4 красных и 3 желтых, во второй – 5 красных и 2 желтых, в третьей – 2 красных и 5 желтых шаров. Случайным образом выбирают одну из коробок и вынимают из нее шар. Найдите вероятность того, что:

1) этот шар будет красным;

2) красный шар будет вынут из второй коробки.

1) этот шар будет красным;

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Введем следующие события:

$H_1$ – событие, состоящее в выборе первой коробки.

$H_2$ – событие, состоящее в выборе второй коробки.

$H_3$ – событие, состоящее в выборе третьей коробки.

Поскольку коробка выбирается случайным образом, вероятности этих событий равны:

$P(H_1) = P(H_2) = P(H_3) = \frac{1}{3}$

Пусть событие $A$ – из выбранной коробки вынут красный шар. Найдем условные вероятности события $A$ для каждой из коробок.

В первой коробке всего $4 + 3 = 7$ шаров, из них 4 красных. Вероятность вынуть красный шар, если выбрана первая коробка, равна:

$P(A|H_1) = \frac{4}{7}$

Во второй коробке всего $5 + 2 = 7$ шаров, из них 5 красных. Вероятность вынуть красный шар, если выбрана вторая коробка, равна:

$P(A|H_2) = \frac{5}{7}$

В третьей коробке всего $2 + 5 = 7$ шаров, из них 2 красных. Вероятность вынуть красный шар, если выбрана третья коробка, равна:

$P(A|H_3) = \frac{2}{7}$

Полная вероятность события $A$ вычисляется по формуле полной вероятности:

$P(A) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + P(H_3)P(A|H_3)$

Подставим найденные значения в формулу:

$P(A) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} + \frac{1}{3} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1}{3} \left(\frac{4}{7} + \frac{5}{7} + \frac{2}{7}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{4+5+2}{7} = \frac{1}{3} \cdot \frac{11}{7} = \frac{11}{21}$

Ответ: $\frac{11}{21}$

2) красный шар будет вынут из второй коробки.

Это событие представляет собой совместное наступление двух событий: была выбрана вторая коробка (событие $H_2$) и из нее был вынут красный шар (событие $A$ при условии $H_2$). Нам нужно найти вероятность пересечения этих событий $P(A \cap H_2)$.

Для нахождения этой вероятности используется формула умножения вероятностей:

$P(A \cap H_2) = P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Мы уже определили эти вероятности в предыдущем пункте:

Вероятность выбора второй коробки $P(H_2) = \frac{1}{3}$.

Вероятность вынуть красный шар из второй коробки $P(A|H_2) = \frac{5}{7}$.

Теперь вычислим искомую вероятность:

$P(A \cap H_2) = \frac{1}{3} \cdot \frac{5}{7} = \frac{5}{21}$

Ответ: $\frac{5}{21}$