Вопросы, страница 207, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях используется формула полной вероятности?

2. В каких случаях используется формула Байеса?

3. Запишите формулу Байеса. Почему эту формулу называют формулой гипотез?

1. В каких случаях используется формула полной вероятности?

Формула полной вероятности используется в тех случаях, когда необходимо найти вероятность некоторого события $A$, которое может произойти только совместно с одним из нескольких несовместных событий (гипотез) $H_1, H_2, \dots, H_n$, образующих полную группу. Полная группа событий означает, что в результате опыта обязательно произойдет одно и только одно из этих событий, то есть $\sum_{i=1}^{n} P(H_i) = 1$.

Для применения формулы должны быть известны:

1. Вероятности каждой из гипотез $P(H_i)$ (их называют априорными, то есть доопытными, вероятностями).

2. Условные вероятности события $A$ при условии, что та или иная гипотеза осуществилась, то есть $P(A|H_i)$.

Формула позволяет вычислить "полную", или безусловную, вероятность события $A$, суммируя вероятности его наступления при каждой из возможных гипотез, взвешенные по вероятностям самих гипотез.

Сама формула выглядит так: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i)P(A|H_i) = P(H_1)P(A|H_1) + P(H_2)P(A|H_2) + \dots + P(H_n)P(A|H_n)$.

Ответ: Формула полной вероятности используется для нахождения вероятности события $A$, которое может наступить в результате осуществления одной из гипотез $H_1, H_2, \dots, H_n$, образующих полную группу несовместных событий.

2. В каких случаях используется формула Байеса?

Формула Байеса (или теорема Байеса) используется для "обратной" задачи. Она применяется тогда, когда событие $A$ уже произошло в результате некоторого опыта, и необходимо переоценить вероятности гипотез $H_1, H_2, \dots, H_n$, которые могли привести к этому событию.

Другими словами, если до опыта мы имели априорные (доопытные) вероятности гипотез $P(H_i)$, то после того, как стало известно, что событие $A$ произошло, мы можем вычислить апостериорные (послеопытные) условные вероятности этих гипотез $P(H_k|A)$. Формула Байеса позволяет найти вероятность того, что событие $A$ было вызвано именно конкретной гипотезой $H_k$.

Например, если мы вытащили из партии деталей бракованную деталь (событие $A$), формула Байеса позволяет определить, с какой вероятностью эта деталь была произведена на первом станке (гипотеза $H_1$), на втором (гипотеза $H_2$) и т.д.

Ответ: Формула Байеса используется для пересчета вероятностей гипотез после того, как становится известным результат опыта (то есть событие $A$ уже произошло). Она позволяет найти условную вероятность гипотезы при условии, что событие $A$ наступило.

3. Запишите формулу Байеса. Почему эту формулу называют формулой гипотез?

Формула Байеса для вычисления апостериорной вероятности гипотезы $H_k$ при условии, что событие $A$ произошло, имеет вид:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k)P(A|H_k)}{P(A)}$

где $P(A)$ — полная вероятность события $A$, вычисляемая по формуле полной вероятности: $P(A) = \sum_{i=1}^{n} P(H_i)P(A|H_i)$.

Таким образом, развернутая форма формулы Байеса выглядит так:

$P(H_k|A) = \frac{P(H_k)P(A|H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(H_i)P(A|H_i)}$

Эту формулу называют "формулой гипотез" потому, что она непосредственно работает с вероятностями гипотез. События $H_1, H_2, \dots, H_n$ представляют собой исчерпывающий набор взаимоисключающих предположений (гипотез) о том, в каких условиях произошло событие $A$. Формула позволяет оценить, какая из этих гипотез является наиболее вероятной причиной наступления наблюдаемого события $A$. То есть она вычисляет именно вероятность гипотезы ($P(H_k|A)$) на основе полученных данных (события $A$).

Ответ: Формула Байеса: $P(H_k|A) = \frac{P(H_k)P(A|H_k)}{\sum_{i=1}^{n} P(H_i)P(A|H_i)}$. Ее называют формулой гипотез, так как она позволяет вычислить или переоценить вероятность каждой из конкурирующих гипотез $H_k$ после получения результата эксперимента.