Номер 27.26, страница 205, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.26. Разложите многочлен на множители:

1) $x^3 - 3x + 2;$

2) $x^3 + 2x^2 - 9x - 18;$

3) $x^3 - 3x^2 + 2x - 6.$

1) Для разложения многочлена $x^3 - 3x + 2$ на множители, сначала найдем один из его целых корней. Согласно теореме о рациональных корнях, они должны быть делителями свободного члена, то есть числа 2. Возможные целые корни: $\pm1, \pm2$.

Проверим $x=1$:

$1^3 - 3(1) + 2 = 1 - 3 + 2 = 0$.

Поскольку $x=1$ является корнем, то многочлен делится на $(x-1)$ без остатка. Для нахождения частного можно применить метод группировки, представив $-3x$ как $-x - 2x$:

$x^3 - 3x + 2 = x^3 - x - 2x + 2 = (x^3 - x) - (2x - 2)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x(x^2 - 1) - 2(x - 1)$.

Применим формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$ к выражению $x^2 - 1$:

$x(x - 1)(x + 1) - 2(x - 1)$.

Теперь вынесем общий множитель $(x-1)$ за скобки:

$(x - 1)(x(x + 1) - 2) = (x - 1)(x^2 + x - 2)$.

Осталось разложить на множители квадратный трехчлен $x^2 + x - 2$. Его корнями являются $x_1 = 1$ и $x_2 = -2$. Следовательно:

$x^2 + x - 2 = (x - 1)(x - (-2)) = (x - 1)(x + 2)$.

Таким образом, окончательное разложение исходного многочлена:

$(x - 1)(x - 1)(x + 2) = (x - 1)^2(x + 2)$.

Ответ: $(x - 1)^2(x + 2)$.

2) Для разложения многочлена $x^3 + 2x^2 - 9x - 18$ используем метод группировки слагаемых. Сгруппируем первые два слагаемых и последние два:

$(x^3 + 2x^2) + (-9x - 18)$.

Вынесем общие множители из каждой группы:

$x^2(x + 2) - 9(x + 2)$.

Теперь мы видим общий множитель $(x + 2)$, который можно вынести за скобки:

$(x + 2)(x^2 - 9)$.

Второе выражение в скобках, $x^2 - 9$, является разностью квадратов, которую можно разложить по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$:

$x^2 - 9 = x^2 - 3^2 = (x - 3)(x + 3)$.

Подставляя это в наше выражение, получаем окончательный результат:

$(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.

Ответ: $(x + 2)(x - 3)(x + 3)$.

3) Для разложения многочлена $x^3 - 3x^2 + 2x - 6$ также применим метод группировки. Сгруппируем первое слагаемое со вторым и третье с четвертым:

$(x^3 - 3x^2) + (2x - 6)$.

Вынесем общий множитель из каждой скобки:

$x^2(x - 3) + 2(x - 3)$.

Теперь вынесем общий множитель $(x - 3)$ за скобки:

$(x - 3)(x^2 + 2)$.

Многочлен $x^2 + 2$ не раскладывается на линейные множители с действительными коэффициентами, поскольку он не имеет действительных корней (дискриминант $D = 0^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = -8 < 0$).

Следовательно, полученное выражение является окончательным разложением на множители.

Ответ: $(x - 3)(x^2 + 2)$.