Номер 27.20, страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.20. 1) На пяти карточках записаны буквы $а, г, и, н, к$. Берут наугад одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком карточки были вынуты. Найдите вероятность того, что получится слово "книга".

2) На семи карточках записаны буквы $о, о, о, л, л, к, к$. Берут наугад одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком карточки были вынуты. Найдите вероятность того, что получится слово "колокол".

1) Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $m$ – число благоприятных исходов, а $N$ – общее число всех равновозможных исходов.

В данном случае исход – это последовательность из 5 букв, составленная из карточек с буквами а, г, и, н, к. Все буквы на карточках различны.

Общее число всех возможных исходов $N$ равно числу перестановок из 5 различных элементов. Оно вычисляется по формуле для числа перестановок без повторений: $N = n!$, где $n=5$.

$N = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

Таким образом, из данных букв можно составить 120 различных "слов".

Благоприятным исходом является получение слова "книга". Так как все буквы различны, существует только одна правильная последовательность карточек. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Теперь можем найти искомую вероятность:

$P(\text{книга}) = \frac{m}{N} = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$.

2) В этой задаче мы имеем дело с перестановками с повторениями, так как некоторые буквы на карточках повторяются. Всего 7 карточек со следующими буквами: 'о' - 3 штуки, 'л' - 2 штуки, 'к' - 2 штуки.

Слово, которое должно получиться, – "колокол". Проверим, что оно состоит из тех же букв в том же количестве: 'к' - 2, 'о' - 3, 'л' - 2. Состав букв совпадает.

Общее число всех возможных уникальных исходов $N$ равно числу перестановок из 7 элементов с повторениями. Оно вычисляется по формуле:

$N = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$, где $n$ – общее количество элементов, а $n_1, n_2, \ldots, n_k$ – количество повторений каждого из уникальных элементов.

В нашем случае $n = 7$ (всего карточек), $n_1 = 3$ (повторений буквы 'о'), $n_2 = 2$ (повторений буквы 'л'), $n_3 = 2$ (повторений буквы 'к').

$N = \frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210$.

Таким образом, существует 210 различных "слов", которые можно составить из данных карточек.

Благоприятным исходом является получение слова "колокол". Это один конкретный исход из всех возможных, поэтому $m = 1$.

Вероятность этого события равна:

$P(\text{колокол}) = \frac{m}{N} = \frac{1}{210}$.

Ответ: $\frac{1}{210}$.