Номер 27.16, страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.16. 1) В урне находятся 7 белых шаров и 3 красных, одинаковых по размеру. Из урны извлекают 2 шара. Найдите вероятность извлечения из урны белого шара после извлечения из урны одного шара, который является или красным, или белым.

2) В урне находятся 30 шаров. Из них 1 белый, 5 красных, 10 синих и 14 зеленых шаров. Вынимаются по очереди три шара. Найдите вероятность того, что в первый раз будет вынут красный шар, во второй раз — синий и в третий раз — зеленый.

1) В урне находится 7 белых и 3 красных шара, всего $7 + 3 = 10$ шаров.

Нужно найти вероятность того, что второй извлеченный шар будет белым. Условие "после извлечения из урны одного шара, который является или красным, или белым" означает, что первый шар был извлечен, но его цвет нам не известен. Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности.

Пусть событие $A$ — «второй извлеченный шар является белым».

Рассмотрим два возможных случая для первого извлеченного шара (гипотезы):

• $H_1$ — первый извлеченный шар был белым.
• $H_2$ — первый извлеченный шар был красным.

Вероятности этих гипотез:

$P(H_1) = \frac{7}{10}$ (7 белых шаров из 10)

$P(H_2) = \frac{3}{10}$ (3 красных шара из 10)

Теперь найдем условные вероятности события $A$ при каждой из гипотез.

Если произошла гипотеза $H_1$ (первый шар — белый), то в урне осталось 9 шаров, из которых 6 белых. Вероятность извлечь вторым белый шар при этом условии:

$P(A|H_1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Если произошла гипотеза $H_2$ (первый шар — красный), то в урне осталось 9 шаров, из которых 7 белых. Вероятность извлечь вторым белый шар при этом условии:

$P(A|H_2) = \frac{7}{9}$

По формуле полной вероятности, искомая вероятность равна:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

$P(A) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{42}{90} + \frac{21}{90} = \frac{63}{90} = \frac{7}{10}$

Ответ: $\frac{7}{10}$

2) В урне находится 30 шаров: 1 белый, 5 красных, 10 синих и 14 зеленых.

Нужно найти вероятность того, что при последовательном извлечении трех шаров (без возвращения) первый окажется красным, второй — синим, а третий — зеленым. Это последовательность зависимых событий.

Пусть событие $A$ — «первый вынутый шар — красный».

Пусть событие $B$ — «второй вынутый шар — синий».

Пусть событие $C$ — «третий вынутый шар — зеленый».

Искомая вероятность — это вероятность совместного наступления этих трех событий $P(A \cap B \cap C)$, которая вычисляется как произведение вероятностей:

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$

Вычислим каждую вероятность по отдельности:

1. Вероятность того, что первый шар красный, $P(A)$. Изначально в урне 30 шаров, из них 5 красных.

$P(A) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

2. Вероятность того, что второй шар синий, при условии, что первый был красным, $P(B|A)$. После извлечения красного шара в урне осталось 29 шаров, из них 10 синих.

$P(B|A) = \frac{10}{29}$

3. Вероятность того, что третий шар зеленый, при условии, что первый был красным, а второй — синим, $P(C|A \cap B)$. После извлечения красного и синего шаров в урне осталось 28 шаров, из них 14 зеленых.

$P(C|A \cap B) = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$

Теперь перемножим эти вероятности, чтобы найти итоговую вероятность:

$P(A \cap B \cap C) = \frac{5}{30} \cdot \frac{10}{29} \cdot \frac{14}{28} = \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{29} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{6 \cdot 29 \cdot 2} = \frac{10}{348} = \frac{5}{174}$

Ответ: $\frac{5}{174}$