Номер 27.21, страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.21. На сборку изделия берутся детали с трех станков. Первый станок дает бракованную деталь с вероятностью 0,002, второй — 0,003, третий — 0,004. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого станка поступило 250 деталей, со второго — 200, с третьего — 100 деталей.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что взятая на сборку деталь окажется бракованной. Поскольку деталь может быть изготовлена на любом из трех станков, введем следующие гипотезы:

Гипотеза $H_1$: деталь поступила с первого станка.

Гипотеза $H_2$: деталь поступила со второго станка.

Гипотеза $H_3$: деталь поступила с третьего станка.

1. Найдем общее количество деталей, поступивших на сборку.$N = 250 (\text{с первого}) + 200 (\text{со второго}) + 100 (\text{с третьего}) = 550$ деталей.

2. Определим вероятности каждой гипотезы. Вероятность того, что случайно выбранная деталь изготовлена на определенном станке, равна доле деталей с этого станка в общем количестве.$P(H_1) = \frac{250}{550} = \frac{25}{55} = \frac{5}{11}$

$P(H_2) = \frac{200}{550} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11}$

$P(H_3) = \frac{100}{550} = \frac{10}{55} = \frac{2}{11}$

Проверим, что сумма вероятностей гипотез равна 1: $\frac{5}{11} + \frac{4}{11} + \frac{2}{11} = \frac{11}{11} = 1$.

3. Из условия задачи нам известны условные вероятности того, что деталь будет бракованной, если она изготовлена на определенном станке.Вероятность брака для детали с первого станка: $P(A|H_1) = 0,002$

Вероятность брака для детали со второго станка: $P(A|H_2) = 0,003$

Вероятность брака для детали с третьего станка: $P(A|H_3) = 0,004$

4. Теперь мы можем найти вероятность события $A$ (попадания на сборку бракованной детали) по формуле полной вероятности:$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3)$

5. Подставим известные значения в формулу и выполним вычисления.$P(A) = \frac{5}{11} \cdot 0,002 + \frac{4}{11} \cdot 0,003 + \frac{2}{11} \cdot 0,004$

$P(A) = \frac{1}{11} \cdot (5 \cdot 0,002 + 4 \cdot 0,003 + 2 \cdot 0,004)$

$P(A) = \frac{1}{11} \cdot (0,010 + 0,012 + 0,008)$

$P(A) = \frac{1}{11} \cdot 0,03$

$P(A) = \frac{0,03}{11} = \frac{3}{1100}$

Таким образом, искомая вероятность равна $\frac{3}{1100}$. В виде десятичной дроби это бесконечная периодическая дробь $0,00(27)$, что приблизительно равно $0,0027$. Точный ответ — в виде обыкновенной дроби.

Ответ: $\frac{3}{1100}$