Страница 204, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

27.14. Вероятность того, что изготовленное на предприятии изделие является пригодным, равна $\frac{92}{100}$. Вероятность того, что взятое наугад годное изделие является изделием первого сорта, равна $\frac{72}{100}$. Найдите вероятность того, что взятое наугад изделие является изделием первого сорта.

Для решения этой задачи введем два события:

Событие A: «взятое наугад изделие является пригодным».

Событие B: «взятое наугад изделие является изделием первого сорта».

Из условия задачи нам даны следующие вероятности:

1. Вероятность того, что изготовленное на предприятии изделие является пригодным, равна $P(A) = \frac{92}{100} = 0.92$.

2. Вероятность того, что взятое наугад годное изделие является изделием первого сорта. Это условная вероятность: вероятность события B при условии, что событие A уже произошло. Записывается как $P(B|A)$.

$P(B|A) = \frac{72}{100} = 0.72$.

Нам нужно найти вероятность того, что взятое наугад изделие является изделием первого сорта, то есть найти $P(B)$.

Событие B (изделие первого сорта) может произойти только в том случае, если изделие является пригодным (событие A). Это означает, что событие «изделие первого сорта» является частным случаем события «изделие пригодное». Таким образом, мы ищем вероятность совместного наступления событий A и B, то есть $P(A \cap B)$.

По определению условной вероятности, вероятность совместного наступления двух событий вычисляется по формуле:

$P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A)$.

Так как любое изделие первого сорта является пригодным, то событие B полностью включает в себя условие события A, и искомая вероятность $P(B)$ равна вероятности пересечения $P(A \cap B)$.

Подставим известные значения в формулу:

$P(B) = P(A \cap B) = \frac{92}{100} \times \frac{72}{100} = 0.92 \times 0.72$.

Выполним умножение:

$0.92 \times 0.72 = 0.6624$.

Таким образом, вероятность того, что взятое наугад изделие окажется изделием первого сорта, равна 0.6624.

Ответ: 0.6624

27.15. В урне находятся 2 белых, 3 красных и 5 зеленых шаров, одинаковых по размеру. Найдите вероятность того, что случайным образом вынутый из урны шар будет:

1) цветным;

2) белым или красным.

Для решения задачи по теории вероятностей сначала определим общее число элементарных исходов. В урне находятся шары трех цветов: 2 белых, 3 красных и 5 зеленых. Все шары одинаковы по размеру, поэтому выбор любого из них является равновозможным событием.

Общее количество шаров в урне ($n$) равно сумме шаров всех цветов:

$n = 2 + 3 + 5 = 10$

Вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$, а $n$ – общее число равновозможных исходов.

1) цветным;

Под "цветными" шарами в данном контексте понимаются шары, имеющие цвет, отличный от белого, то есть красные и зеленые. Найдем количество благоприятных исходов ($m_1$), которое равно сумме красных и зеленых шаров:

$m_1 = 3 \text{ (красных)} + 5 \text{ (зеленых)} = 8$

Теперь вычислим вероятность того, что случайным образом вынутый шар будет цветным:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5} = 0.8$

Ответ: $0.8$

2) белым или красным.

Найдем количество благоприятных исходов ($m_2$) для этого события. Оно равно сумме белых и красных шаров:

$m_2 = 2 \text{ (белых)} + 3 \text{ (красных)} = 5$

Теперь вычислим вероятность того, что случайным образом вынутый шар будет белым или красным:

$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} = 0.5$

Ответ: $0.5$

27.16. 1) В урне находятся 7 белых шаров и 3 красных, одинаковых по размеру. Из урны извлекают 2 шара. Найдите вероятность извлечения из урны белого шара после извлечения из урны одного шара, который является или красным, или белым.

2) В урне находятся 30 шаров. Из них 1 белый, 5 красных, 10 синих и 14 зеленых шаров. Вынимаются по очереди три шара. Найдите вероятность того, что в первый раз будет вынут красный шар, во второй раз — синий и в третий раз — зеленый.

1) В урне находится 7 белых и 3 красных шара, всего $7 + 3 = 10$ шаров.

Нужно найти вероятность того, что второй извлеченный шар будет белым. Условие "после извлечения из урны одного шара, который является или красным, или белым" означает, что первый шар был извлечен, но его цвет нам не известен. Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности.

Пусть событие $A$ — «второй извлеченный шар является белым».

Рассмотрим два возможных случая для первого извлеченного шара (гипотезы):

• $H_1$ — первый извлеченный шар был белым.
• $H_2$ — первый извлеченный шар был красным.

Вероятности этих гипотез:

$P(H_1) = \frac{7}{10}$ (7 белых шаров из 10)

$P(H_2) = \frac{3}{10}$ (3 красных шара из 10)

Теперь найдем условные вероятности события $A$ при каждой из гипотез.

Если произошла гипотеза $H_1$ (первый шар — белый), то в урне осталось 9 шаров, из которых 6 белых. Вероятность извлечь вторым белый шар при этом условии:

$P(A|H_1) = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}$

Если произошла гипотеза $H_2$ (первый шар — красный), то в урне осталось 9 шаров, из которых 7 белых. Вероятность извлечь вторым белый шар при этом условии:

$P(A|H_2) = \frac{7}{9}$

По формуле полной вероятности, искомая вероятность равна:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

$P(A) = \frac{7}{10} \cdot \frac{6}{9} + \frac{3}{10} \cdot \frac{7}{9} = \frac{42}{90} + \frac{21}{90} = \frac{63}{90} = \frac{7}{10}$

Ответ: $\frac{7}{10}$

2) В урне находится 30 шаров: 1 белый, 5 красных, 10 синих и 14 зеленых.

Нужно найти вероятность того, что при последовательном извлечении трех шаров (без возвращения) первый окажется красным, второй — синим, а третий — зеленым. Это последовательность зависимых событий.

Пусть событие $A$ — «первый вынутый шар — красный».

Пусть событие $B$ — «второй вынутый шар — синий».

Пусть событие $C$ — «третий вынутый шар — зеленый».

Искомая вероятность — это вероятность совместного наступления этих трех событий $P(A \cap B \cap C)$, которая вычисляется как произведение вероятностей:

$P(A \cap B \cap C) = P(A) \cdot P(B|A) \cdot P(C|A \cap B)$

Вычислим каждую вероятность по отдельности:

1. Вероятность того, что первый шар красный, $P(A)$. Изначально в урне 30 шаров, из них 5 красных.

$P(A) = \frac{5}{30} = \frac{1}{6}$

2. Вероятность того, что второй шар синий, при условии, что первый был красным, $P(B|A)$. После извлечения красного шара в урне осталось 29 шаров, из них 10 синих.

$P(B|A) = \frac{10}{29}$

3. Вероятность того, что третий шар зеленый, при условии, что первый был красным, а второй — синим, $P(C|A \cap B)$. После извлечения красного и синего шаров в урне осталось 28 шаров, из них 14 зеленых.

$P(C|A \cap B) = \frac{14}{28} = \frac{1}{2}$

Теперь перемножим эти вероятности, чтобы найти итоговую вероятность:

$P(A \cap B \cap C) = \frac{5}{30} \cdot \frac{10}{29} \cdot \frac{14}{28} = \frac{1}{6} \cdot \frac{10}{29} \cdot \frac{1}{2} = \frac{10}{6 \cdot 29 \cdot 2} = \frac{10}{348} = \frac{5}{174}$

Ответ: $\frac{5}{174}$

27.17. Если студент ответил на один из двух предложенных вопросов, то он сдал экзамен. На экзамене предлагается 40 вопросов, из которых студент не знает ответ на 8 вопросов. Найдите вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Для решения задачи найдем вероятность противоположного события. Противоположное событие заключается в том, что студент не сдаст экзамен. Чтобы не сдать экзамен, студент должен получить два вопроса, на которые он не знает ответа.

Общее количество вопросов на экзамене равно 40.

Количество вопросов, на которые студент не знает ответ, равно 8.

Количество вопросов, на которые студент знает ответ, равно $40 - 8 = 32$.

Найдем вероятность того, что студент не сдаст экзамен. Это произойдет, если оба случайно выбранных вопроса окажутся из тех 8, которые студент не выучил.

Вероятность того, что первый вытянутый вопрос будет из числа "невыученных", равна:$P_1 = \frac{8}{40}$

После того как студент вытянул один "невыученный" вопрос, осталось 39 вопросов, из которых 7 "невыученных". Вероятность того, что второй вопрос также окажется "невыученным", при условии, что первый был таким, равна:$P_2 = \frac{7}{39}$

Вероятность того, что оба вопроса будут "невыученными" (событие "не сдал"), равна произведению вероятностей этих двух последовательных событий:$P(\text{не сдал}) = P_1 \cdot P_2 = \frac{8}{40} \cdot \frac{7}{39} = \frac{1}{5} \cdot \frac{7}{39} = \frac{7}{195}$

Событие "студент сдал экзамен" является противоположным событию "студент не сдал экзамен". Вероятность сдать экзамен равна разности между единицей и вероятностью не сдать экзамен:$P(\text{сдал}) = 1 - P(\text{не сдал}) = 1 - \frac{7}{195} = \frac{195}{195} - \frac{7}{195} = \frac{188}{195}$

Ответ: $\frac{188}{195}$

27.18. В лотерее 10 билетов, из которых 4 выигрышных. Найдите вероятность того, чтобы выиграть хотя бы один раз, купив 4 билета.

Для решения этой задачи по теории вероятностей удобнее найти вероятность противоположного события, а затем вычесть её из единицы.

Пусть событие $A$ заключается в том, что, купив 4 билета, мы выиграем хотя бы один раз.Противоположное событие, которое мы обозначим как $\bar{A}$, заключается в том, что мы не выиграем ни разу. Это означает, что все 4 купленных билета оказались невыигрышными.

По условию, всего в лотерее 10 билетов.Количество выигрышных билетов: 4.Количество невыигрышных билетов: $10 - 4 = 6$.Мы покупаем 4 билета.

Сначала найдем общее число способов выбрать 4 билета из 10. Поскольку порядок выбора билетов не имеет значения, мы используем формулу сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.Общее число исходов $N$ равно числу сочетаний из 10 по 4:$N = C_{10}^4 = \frac{10!}{4!(10-4)!} = \frac{10!}{4!6!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7}{4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 7 = 210$.

Теперь найдем число исходов, благоприятствующих событию $\bar{A}$, то есть число способов выбрать 4 невыигрышных билета из 6 имеющихся невыигрышных.Число благоприятных для $\bar{A}$ исходов $m$ равно числу сочетаний из 6 по 4:$m = C_6^4 = \frac{6!}{4!(6-4)!} = \frac{6!}{4!2!} = \frac{6 \cdot 5}{2 \cdot 1} = 15$.

Вероятность события $\bar{A}$ (не выиграть ни разу) вычисляется как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:$P(\bar{A}) = \frac{m}{N} = \frac{15}{210}$.Сократим эту дробь:$P(\bar{A}) = \frac{15 \div 15}{210 \div 15} = \frac{1}{14}$.

Наконец, найдем вероятность искомого события $A$ (выиграть хотя бы один раз). Вероятность события $A$ равна разности между единицей и вероятностью противоположного события $\bar{A}$:$P(A) = 1 - P(\bar{A}) = 1 - \frac{1}{14} = \frac{14}{14} - \frac{1}{14} = \frac{13}{14}$.

Ответ: $\frac{13}{14}$.

27.19. Трое друзей договорились встретиться. Вероятности того, что каждый из трех друзей придет в условленное место, соответственно равны: $p_1 = 0.8; p_2 = 0.4; p_3 = 0.7$. Найдите вероятность того, что на встречу придут двое из трех друзей или все три.

Для решения задачи определим вероятности прихода каждого из друзей и вероятности их отсутствия. Пусть $p_1, p_2, p_3$ - вероятности того, что первый, второй и третий друг придут на встречу соответственно. Тогда $q_1, q_2, q_3$ - вероятности того, что они не придут.

Дано:

$p_1 = 0,8$, следовательно $q_1 = 1 - 0,8 = 0,2$

$p_2 = 0,4$, следовательно $q_2 = 1 - 0,4 = 0,6$

$p_3 = 0,7$, следовательно $q_3 = 1 - 0,7 = 0,3$

Нам нужно найти вероятность события, при котором на встречу придут двое из трех друзей или все три. Эти два исхода (пришли ровно двое и пришли все трое) являются несовместными, поэтому искомая вероятность будет равна сумме их вероятностей.

Вероятность того, что на встречу придут двое из трех друзей

Это событие может произойти тремя способами:

1. Первый и второй друзья придут, а третий — нет. Вероятность этого, учитывая независимость событий, равна:

$P(A_1) = p_1 \cdot p_2 \cdot q_3 = 0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,3 = 0,096$

2. Первый и третий друзья придут, а второй — нет:

$P(A_2) = p_1 \cdot q_2 \cdot p_3 = 0,8 \cdot 0,6 \cdot 0,7 = 0,336$

3. Второй и третий друзья придут, а первый — нет:

$P(A_3) = q_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,2 \cdot 0,4 \cdot 0,7 = 0,056$

Суммарная вероятность того, что придут ровно двое, равна сумме вероятностей этих трех несовместных исходов:

$P(\text{двое}) = P(A_1) + P(A_2) + P(A_3) = 0,096 + 0,336 + 0,056 = 0,488$

Вероятность того, что на встречу придут все три друга

Это событие означает, что придут все три друга одновременно. Вероятность этого равна:

$P(\text{трое}) = p_1 \cdot p_2 \cdot p_3 = 0,8 \cdot 0,4 \cdot 0,7 = 0,224$

Искомая вероятность того, что придут двое или трое друзей, равна сумме вероятностей этих двух событий:

$P(\text{искомое}) = P(\text{двое}) + P(\text{трое}) = 0,488 + 0,224 = 0,712$

Ответ: $0,712$

27.20. 1) На пяти карточках записаны буквы $а, г, и, н, к$. Берут наугад одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком карточки были вынуты. Найдите вероятность того, что получится слово "книга".

2) На семи карточках записаны буквы $о, о, о, л, л, к, к$. Берут наугад одну карточку за другой и кладут в том порядке, в каком карточки были вынуты. Найдите вероятность того, что получится слово "колокол".

1) Для решения этой задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P = \frac{m}{N}$, где $m$ – число благоприятных исходов, а $N$ – общее число всех равновозможных исходов.

В данном случае исход – это последовательность из 5 букв, составленная из карточек с буквами а, г, и, н, к. Все буквы на карточках различны.

Общее число всех возможных исходов $N$ равно числу перестановок из 5 различных элементов. Оно вычисляется по формуле для числа перестановок без повторений: $N = n!$, где $n=5$.

$N = 5! = 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 120$.

Таким образом, из данных букв можно составить 120 различных "слов".

Благоприятным исходом является получение слова "книга". Так как все буквы различны, существует только одна правильная последовательность карточек. Следовательно, число благоприятных исходов $m = 1$.

Теперь можем найти искомую вероятность:

$P(\text{книга}) = \frac{m}{N} = \frac{1}{120}$.

Ответ: $\frac{1}{120}$.

2) В этой задаче мы имеем дело с перестановками с повторениями, так как некоторые буквы на карточках повторяются. Всего 7 карточек со следующими буквами: 'о' - 3 штуки, 'л' - 2 штуки, 'к' - 2 штуки.

Слово, которое должно получиться, – "колокол". Проверим, что оно состоит из тех же букв в том же количестве: 'к' - 2, 'о' - 3, 'л' - 2. Состав букв совпадает.

Общее число всех возможных уникальных исходов $N$ равно числу перестановок из 7 элементов с повторениями. Оно вычисляется по формуле:

$N = \frac{n!}{n_1! \cdot n_2! \cdot \ldots \cdot n_k!}$, где $n$ – общее количество элементов, а $n_1, n_2, \ldots, n_k$ – количество повторений каждого из уникальных элементов.

В нашем случае $n = 7$ (всего карточек), $n_1 = 3$ (повторений буквы 'о'), $n_2 = 2$ (повторений буквы 'л'), $n_3 = 2$ (повторений буквы 'к').

$N = \frac{7!}{3! \cdot 2! \cdot 2!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}{(3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1) \cdot (2 \cdot 1)} = \frac{5040}{6 \cdot 2 \cdot 2} = \frac{5040}{24} = 210$.

Таким образом, существует 210 различных "слов", которые можно составить из данных карточек.

Благоприятным исходом является получение слова "колокол". Это один конкретный исход из всех возможных, поэтому $m = 1$.

Вероятность этого события равна:

$P(\text{колокол}) = \frac{m}{N} = \frac{1}{210}$.

Ответ: $\frac{1}{210}$.

27.21. На сборку изделия берутся детали с трех станков. Первый станок дает бракованную деталь с вероятностью 0,002, второй — 0,003, третий — 0,004. Найдите вероятность попадания на сборку бракованной детали, если с первого станка поступило 250 деталей, со второго — 200, с третьего — 100 деталей.

Для решения этой задачи воспользуемся формулой полной вероятности. Пусть событие $A$ заключается в том, что взятая на сборку деталь окажется бракованной. Поскольку деталь может быть изготовлена на любом из трех станков, введем следующие гипотезы:

Гипотеза $H_1$: деталь поступила с первого станка.

Гипотеза $H_2$: деталь поступила со второго станка.

Гипотеза $H_3$: деталь поступила с третьего станка.

1. Найдем общее количество деталей, поступивших на сборку.$N = 250 (\text{с первого}) + 200 (\text{со второго}) + 100 (\text{с третьего}) = 550$ деталей.

2. Определим вероятности каждой гипотезы. Вероятность того, что случайно выбранная деталь изготовлена на определенном станке, равна доле деталей с этого станка в общем количестве.$P(H_1) = \frac{250}{550} = \frac{25}{55} = \frac{5}{11}$

$P(H_2) = \frac{200}{550} = \frac{20}{55} = \frac{4}{11}$

$P(H_3) = \frac{100}{550} = \frac{10}{55} = \frac{2}{11}$

Проверим, что сумма вероятностей гипотез равна 1: $\frac{5}{11} + \frac{4}{11} + \frac{2}{11} = \frac{11}{11} = 1$.

3. Из условия задачи нам известны условные вероятности того, что деталь будет бракованной, если она изготовлена на определенном станке.Вероятность брака для детали с первого станка: $P(A|H_1) = 0,002$

Вероятность брака для детали со второго станка: $P(A|H_2) = 0,003$

Вероятность брака для детали с третьего станка: $P(A|H_3) = 0,004$

4. Теперь мы можем найти вероятность события $A$ (попадания на сборку бракованной детали) по формуле полной вероятности:$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2) + P(H_3) \cdot P(A|H_3)$

5. Подставим известные значения в формулу и выполним вычисления.$P(A) = \frac{5}{11} \cdot 0,002 + \frac{4}{11} \cdot 0,003 + \frac{2}{11} \cdot 0,004$

$P(A) = \frac{1}{11} \cdot (5 \cdot 0,002 + 4 \cdot 0,003 + 2 \cdot 0,004)$

$P(A) = \frac{1}{11} \cdot (0,010 + 0,012 + 0,008)$

$P(A) = \frac{1}{11} \cdot 0,03$

$P(A) = \frac{0,03}{11} = \frac{3}{1100}$

Таким образом, искомая вероятность равна $\frac{3}{1100}$. В виде десятичной дроби это бесконечная периодическая дробь $0,00(27)$, что приблизительно равно $0,0027$. Точный ответ — в виде обыкновенной дроби.

Ответ: $\frac{3}{1100}$