Страница 202, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. В каких случаях можно найти вероятность события без проведения испытаний?

2. Какие значения принимает вероятность события?

3. В чем состоит сходство вычисления суммы вероятностей несовместимых событий и произведения вероятностей независимых событий?

1. Вероятность события можно найти без проведения испытаний в тех случаях, когда применима классическая модель вероятности. Это возможно при соблюдении двух ключевых условий: общее число всех возможных исходов конечно, и все элементарные исходы являются равновозможными. Равновозможность означает, что нет никаких оснований полагать, что один из исходов может наступить чаще другого. В такой ситуации вероятность события $A$ определяется как отношение числа исходов, благоприятствующих этому событию ($m$), к общему числу всех равновозможных исходов ($n$). Формула для расчета: $P(A) = \frac{m}{n}$. Классическими примерами являются задачи с подбрасыванием симметричной монеты, броском идеальной игральной кости или извлечением карты из хорошо перемешанной колоды. Например, вероятность вытянуть туза из колоды в 36 карт равна $4/36 = 1/9$, так как в колоде 4 туза (благоприятные исходы) и всего 36 карт (все возможные исходы).

Ответ: Вероятность события можно найти без испытаний, когда все возможные исходы эксперимента конечны и равновозможны (классическое определение вероятности).

2. Вероятность любого события — это число, которое находится в диапазоне от 0 до 1 включительно. Это можно выразить с помощью двойного неравенства: $0 \le P(A) \le 1$, где $P(A)$ — вероятность события $A$.

- Значение 0 принимается для невозможного события, то есть события, которое не может произойти ни при каких условиях в данном эксперименте. Например, вероятность выпадения числа 8 при броске обычного шестигранного кубика равна 0.

- Значение 1 принимается для достоверного события, то есть события, которое обязательно произойдет в данном эксперименте. Например, вероятность того, что при броске кубика выпадет число от 1 до 6, равна 1.

Все остальные случайные события имеют вероятность, строго большую 0 и строго меньшую 1.

Ответ: Вероятность события принимает значения от 0 до 1 включительно.

3. Сходство между вычислением суммы вероятностей несовместимых событий и произведения вероятностей независимых событий заключается в том, что оба правила служат для нахождения вероятности сложного события через вероятности более простых событий, из которых оно состоит. В обоих случаях используется простое арифметическое действие над вероятностями исходных событий.

- Теорема сложения для несовместимых событий: Если события $A$ и $B$ не могут произойти одновременно (несовместимы), то вероятность того, что произойдет или событие $A$, или событие $B$, равна сумме их вероятностей: $P(A \text{ или } B) = P(A) + P(B)$.

- Теорема умножения для независимых событий: Если наступление события $A$ не влияет на вероятность наступления события $B$ (и наоборот), то события называются независимыми. Вероятность их одновременного наступления равна произведению их вероятностей: $P(A \text{ и } B) = P(A) \cdot P(B)$.

Таким образом, общее в этих правилах — это принцип декомпозиции: вероятность сложного, составного события ("A или B", "A и B") вычисляется путем выполнения базовой арифметической операции (сложения или умножения) над вероятностями простых, составляющих его событий. Выбор операции определяется характером связи между событиями (несовместимость или независимость).

Ответ: Сходство состоит в том, что в обоих случаях вероятность сложного события вычисляется через вероятности простых событий, из которых оно состоит, с помощью простого арифметического действия (сложения или умножения).

27.1. В произвольном порядке выписываются две буквы $P$ и две буквы $H$. Найдите вероятность того, что обе буквы $H$ будут стоять рядом при условии, что:

1) буква $P$ стоит последней;

2) буква $H$ стоит второй;

3) буква $H$ стоит первой.

Для решения задачи будем использовать определение условной вероятности. В каждом пункте мы сначала определим новое, суженное пространство элементарных исходов, которое соответствует заданному условию. Затем в этом новом пространстве мы найдем количество благоприятных исходов (тех, где обе буквы Н стоят рядом) и разделим его на общее количество исходов в суженном пространстве.

Исходный набор букв: {Р, Р, Н, Н}.

Пусть событие $B_1$ заключается в том, что буква Р стоит на последнем, четвертом месте. Если это условие выполнено, то на первых трех местах должны располагаться одна буква Р и две буквы Н. Найдем общее число таких расположений. Это число перестановок с повторениями для набора {Р, Н, Н}, которое равно $n_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$.

Вот эти три возможных расположения первых трех букв: РНН, НРН, ННР.

Соответственно, полные четырехбуквенные слова, удовлетворяющие условию $B_1$, будут: РННР, НРНР, ННРР. Это наше новое пространство элементарных исходов.

Теперь найдем, в скольких из этих трех исходов обе буквы Н стоят рядом.

1. РННР - буквы Н стоят рядом.

2. НРНР - буквы Н не стоят рядом.

3. ННРР - буквы Н стоят рядом.

Таким образом, у нас есть $m_1 = 2$ благоприятных исхода.

Вероятность того, что обе буквы Н будут стоять рядом, при условии, что буква Р стоит последней, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов в новом пространстве:

$P = \frac{m_1}{n_1} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

Пусть событие $B_2$ заключается в том, что буква Н стоит на втором месте. Тогда на оставшихся трех позициях (первой, третьей и четвертой) должны располагаться две буквы Р и одна буква Н. Найдем общее число таких расположений. Это число перестановок с повторениями для набора {Р, Р, Н}, которое равно $n_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

Перечислим все возможные слова, удовлетворяющие условию $B_2$. Для этого расставим буквы {Р, Р, Н} на позициях 1, 3, 4:

1. Н на первом месте: ННРР.

2. Н на третьем месте: РННР.

3. Н на четвертом месте: РНРН.

Таким образом, наше новое пространство элементарных исходов состоит из трех комбинаций: {ННРР, РННР, РНРН}.

Теперь найдем, в скольких из этих трех исходов обе буквы Н стоят рядом. Две буквы Н стоят рядом, если вторая буква Н находится на первом или третьем месте.

1. ННРР - буквы Н стоят рядом (на 1-й и 2-й позициях).

2. РННР - буквы Н стоят рядом (на 2-й и 3-й позициях).

3. РНРН - буквы Н не стоят рядом.

Следовательно, у нас есть $m_2 = 2$ благоприятных исхода.

Искомая условная вероятность равна:

$P = \frac{m_2}{n_2} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

Пусть событие $B_3$ заключается в том, что буква Н стоит на первом месте. Тогда на оставшихся трех позициях (второй, третьей и четвертой) должны располагаться две буквы Р и одна буква Н. Общее число таких расположений, как и в предыдущем пункте, равно числу перестановок набора {Р, Р, Н}: $n_3 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

Перечислим все возможные слова, удовлетворяющие условию $B_3$. Для этого разместим оставшуюся букву Н на одной из трех свободных позиций (2, 3 или 4):

1. Н на втором месте: ННРР.

2. Н на третьем месте: НРНР.

3. Н на четвертом месте: НРРН.

Новое пространство элементарных исходов: {ННРР, НРНР, НРРН}.

Теперь определим, в скольких из этих трех исходов обе буквы Н стоят рядом. Так как одна буква Н уже стоит на первом месте, то для выполнения условия, что они стоят рядом, вторая буква Н должна стоять на втором месте.

1. ННРР - буквы Н стоят рядом.

2. НРНР - буквы Н не стоят рядом.

3. НРРН - буквы Н не стоят рядом.

Следовательно, у нас есть только $m_3 = 1$ благоприятный исход.

Искомая условная вероятность равна:

$P = \frac{m_3}{n_3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$

27.2. Серди 100 лотерейных билетов есть 10 выигрышных:

1) Найдите вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

2) Найдите вероятность того, что из двух наудачу выбранных билетов только один окажется выигрышным.

1) Найдите вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Всего имеется 100 билетов. Общее число способов выбрать 2 билета из 100 (без учета порядка) равно числу сочетаний из 100 по 2. Это и будет общее число исходов $n$.

$n = C_{100}^2 = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100 \times 99}{2 \times 1} = 50 \times 99 = 4950$.

Событие $A$ состоит в том, что оба выбранных билета являются выигрышными. В лотерее 10 выигрышных билетов. Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 10 имеющихся (число благоприятствующих исходов $m$) равно:

$m = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Таким образом, вероятность того, что оба билета окажутся выигрышными, равна:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{C_{10}^2}{C_{100}^2} = \frac{45}{4950} = \frac{1}{110}$.

Ответ: $\frac{1}{110}$

2) Найдите вероятность того, что из двух наудачу выбранных билетов только один окажется выигрышным.

Событие $B$ состоит в том, что из двух выбранных билетов ровно один является выигрышным. Это означает, что один выбранный билет должен быть выигрышным, а второй – проигрышным.

Количество выигрышных билетов – 10.

Количество проигрышных билетов – $100 - 10 = 90$.

Число способов выбрать 1 выигрышный билет из 10 равно $C_{10}^1 = 10$.

Число способов выбрать 1 проигрышный билет из 90 равно $C_{90}^1 = 90$.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, число благоприятствующих исходов $m$ (выбрать 1 выигрышный И 1 проигрышный билет) равно произведению этих способов:

$m = C_{10}^1 \times C_{90}^1 = 10 \times 90 = 900$.

Общее число способов выбрать 2 любых билета из 100 по-прежнему равно $n = C_{100}^2 = 4950$.

Вероятность того, что ровно один из двух билетов будет выигрышным, равна:

$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{C_{10}^1 \times C_{90}^1}{C_{100}^2} = \frac{900}{4950} = \frac{90}{495} = \frac{2}{11}$.

Ответ: $\frac{2}{11}$

27.3. В коробке находятся 4 шара: синий, зеленый и два красных. Из коробки вынимаются два шара. Найдите вероятность того, что:

1) оба шара красные;

2) первый вынутый шар зеленый, второй — красный.

В условии задачи дано, что в коробке находятся 4 шара: 1 синий, 1 зеленый и 2 красных. Из коробки последовательно вынимают два шара без возвращения. Найдем вероятности указанных событий.

1) оба шара красные;

Это событие состоит из двух последовательных зависимых событий: сначала вынимают первый красный шар, а затем — второй красный шар.

Вероятность вынуть первым красный шар (событие А). В коробке 2 красных шара из 4.

$P(A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.

После того как вынули один красный шар, в коробке осталось 3 шара, из которых только 1 красный.

Вероятность вынуть вторым красный шар при условии, что первый уже был красным (событие B|A):

$P(B|A) = \frac{1}{3}$.

Вероятность того, что оба шара будут красными, равна произведению вероятностей этих двух событий:

$P(\text{оба красные}) = P(A) \times P(B|A) = \frac{1}{2} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

2) первый вынутый шар зеленый, второй — красный.

Это также событие, состоящее из двух последовательных зависимых событий.

Вероятность вынуть первым зеленый шар (событие С). В коробке 1 зеленый шар из 4.

$P(C) = \frac{1}{4}$.

После того как вынули зеленый шар, в коробке осталось 3 шара, из которых 2 красных.

Вероятность вынуть вторым красный шар при условии, что первый был зеленым (событие D|C):

$P(D|C) = \frac{2}{3}$.

Искомая вероятность равна произведению вероятностей этих событий:

$P(\text{первый зеленый, второй красный}) = P(C) \times P(D|C) = \frac{1}{4} \times \frac{2}{3} = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Ответ: $\frac{1}{6}$

27.4. В двух коробках имеются шары. В первой коробке 6 красных и 4 желтых шаров, во второй — 5 красных и 5 желтых шаров. Случайным образом выбирают одну их коробок и вынимают из нее шар. Найдите вероятность того, что:
1) этот шар будет красным;
2) красный шар будет вынут из второй коробки.

Для решения задачи введем обозначения событий:

$H_1$ – событие, состоящее в том, что была выбрана первая коробка.

$H_2$ – событие, состоящее в том, что была выбрана вторая коробка.

$A$ – событие, состоящее в том, что из выбранной коробки вынут красный шар.

Поскольку коробка выбирается случайным образом, вероятности выбора каждой из них равны:

$P(H_1) = 1/2$

$P(H_2) = 1/2$

Рассчитаем общее количество шаров в каждой коробке.

В первой коробке: $6$ красных + $4$ желтых = $10$ шаров.

Во второй коробке: $5$ красных + $5$ желтых = $10$ шаров.

1) этот шар будет красным;

Чтобы найти вероятность того, что извлеченный шар будет красным, нужно использовать формулу полной вероятности. Для этого сначала определим условные вероятности извлечения красного шара из каждой коробки.

Вероятность вынуть красный шар при условии, что была выбрана первая коробка ($P(A|H_1)$):

$P(A|H_1) = 6/10 = 3/5$

Вероятность вынуть красный шар при условии, что была выбрана вторая коробка ($P(A|H_2)$):

$P(A|H_2) = 5/10 = 1/2$

Теперь по формуле полной вероятности найдем общую вероятность события $A$:

$P(A) = P(H_1) \cdot P(A|H_1) + P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Подставляем значения:

$P(A) = (1/2) \cdot (6/10) + (1/2) \cdot (5/10) = 6/20 + 5/20 = 11/20$

Таким образом, вероятность того, что вынутый шар будет красным, равна $11/20$ или $0.55$.

Ответ: $11/20$

2) красный шар будет вынут из второй коробки.

В этом пункте требуется найти вероятность того, что произойдут два события одновременно: будет выбрана вторая коробка (событие $H_2$) и из нее будет вынут красный шар. Это вероятность совместного события $A$ и $H_2$, которая находится по формуле умножения вероятностей:

$P(A \cap H_2) = P(H_2) \cdot P(A|H_2)$

Мы уже знаем обе эти вероятности:

$P(H_2) = 1/2$

$P(A|H_2) = 5/10 = 1/2$

Вычисляем искомую вероятность:

$P(A \cap H_2) = (1/2) \cdot (1/2) = 1/4$

Таким образом, вероятность того, что красный шар будет вынут из второй коробки, равна $1/4$ или $0.25$.

Ответ: $1/4$

27.5. Два стрелка делают по одному выстрелу в мишень. Вероятность попадания первым стрелком равна 0,7, вторым — 0.8. Найдите вероятность того, что мишень будет поражена.

Пусть событие $A$ заключается в том, что первый стрелок попал в мишень, а событие $B$ — в том, что второй стрелок попал в мишень. По условию задачи, вероятности этих событий равны:

$P(A) = 0,7$

$P(B) = 0,8$

Событие "мишень будет поражена" означает, что произойдет хотя бы одно из этих событий (попадет первый, или попадет второй, или попадут оба). Проще найти вероятность противоположного события — "мишень не будет поражена", что означает, что оба стрелка промахнулись.

Найдем вероятности промахов для каждого стрелка.

Вероятность промаха первого стрелка (событие $\bar{A}$) равна:

$P(\bar{A}) = 1 - P(A) = 1 - 0,7 = 0,3$

Вероятность промаха второго стрелка (событие $\bar{B}$) равна:

$P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - 0,8 = 0,2$

Так как выстрелы стрелков являются независимыми событиями, вероятность того, что оба стрелка промахнутся, равна произведению вероятностей промаха каждого из них:

$P(\bar{A} \text{ и } \bar{B}) = P(\bar{A}) \cdot P(\bar{B}) = 0,3 \cdot 0,2 = 0,06$

Искомая вероятность того, что мишень будет поражена, является вероятностью события, противоположного событию "оба промахнулись". Следовательно, ее можно найти, вычтя из единицы вероятность того, что оба стрелка промахнутся:

$P(\text{мишень поражена}) = 1 - P(\bar{A} \text{ и } \bar{B}) = 1 - 0,06 = 0,94$

Ответ: 0,94