Страница 201, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

Убедитесь, что $P(A/B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

Формула $P(A/B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$ является определением условной вероятности. Давайте убедимся в ее справедливости, исходя из классического определения вероятности, которое применимо для экспериментов с конечным числом равновозможных исходов.

Пусть $N$ — общее число равновозможных элементарных исходов эксперимента.

Пусть $N(A)$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

Пусть $N(B)$ — число исходов, благоприятствующих событию B.

Пусть $N(AB)$ — число исходов, благоприятствующих одновременному наступлению событий A и B (их пересечению).

По классическому определению, вероятность события — это отношение числа благоприятствующих ему исходов к общему числу исходов:

$P(B) = \frac{N(B)}{N}$

$P(AB) = \frac{N(AB)}{N}$

Условная вероятность $P(A/B)$ — это вероятность наступления события A при условии, что событие B уже произошло. Когда мы получаем информацию, что событие B наступило, пространство всех возможных исходов для нас сужается. Вместо всех $N$ исходов мы теперь рассматриваем только те $N(B)$ исходов, которые составляют событие B. Это наше новое, редуцированное пространство исходов.

В этом новом пространстве, состоящем из $N(B)$ исходов, мы ищем те, которые благоприятствуют событию A. Это будут исходы, которые принадлежат и B (наше условие), и A (наш интерес). То есть это в точности исходы, составляющие событие AB. Их число равно $N(AB)$.

Таким образом, условная вероятность $P(A/B)$ по своей сути — это вероятность, вычисленная для нового, суженного пространства исходов. По классическому определению она будет равна:

$P(A/B) = \frac{\text{число благоприятствующих исходов в новом пространстве}}{\text{общее число исходов в новом пространстве}} = \frac{N(AB)}{N(B)}$

Теперь покажем, что это выражение тождественно равно правой части исходной формулы. Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{N(AB)}{N(B)}$ на общее число исходов $N$:

$P(A/B) = \frac{N(AB)}{N(B)} = \frac{N(AB)/N}{N(B)/N}$

Заметим, что числитель полученной дроби, $\frac{N(AB)}{N}$, есть не что иное, как вероятность $P(AB)$, а знаменатель, $\frac{N(B)}{N}$, — это вероятность $P(B)$.

Таким образом, мы приходим к искомой формуле:

$P(A/B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

Эта формула верна при условии, что $P(B) > 0$, так как событие B, которое уже наступило, не может быть невозможным.

Рассмотрим наглядный пример. Бросаем игральный кубик. Пусть событие A = "выпало чётное число", а событие B = "выпало число больше 3".

Вероятность события B (выпало 4, 5 или 6) равна $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Событие AB (выпало чётное число И больше 3) — это выпадение 4 или 6. Вероятность этого события $P(AB) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Тогда по формуле условная вероятность события A при условии B равна:

$P(A/B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$.

Этот результат интуитивно понятен: если мы знаем, что выпало число из набора $\{4, 5, 6\}$, то в этом наборе есть три равновероятных исхода. Два из них (4 и 6) являются чётными. Следовательно, вероятность выбрать чётное число из этого набора равна $\frac{2}{3}$. Это и подтверждает правильность формулы.

Ответ: Представленная формула является определением условной вероятности. Ее справедливость можно продемонстрировать, исходя из классического определения вероятности. Когда событие B наступает, оно становится новым, уменьшенным пространством элементарных исходов. Вероятность наступления события A в этом новом пространстве равна отношению числа исходов, благоприятствующих A и B одновременно ($N(AB)$), к общему числу исходов в B ($N(B)$), что математически эквивалентно отношению их вероятностей $\frac{P(AB)}{P(B)}$.

ОБЪЯСНИТЕ

Почему события $A$ и $B$ независимые?

Два случайных события A и B называются независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого. Другими словами, знание о том, что событие B произошло (или не произошло), не меняет наших ожиданий относительно вероятности события A.

Математически это определение выражается через основное свойство независимых событий: вероятность совместного наступления (пересечения) двух независимых событий равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Формула для независимых событий:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

где:

$P(A \cap B)$ — вероятность того, что произойдут оба события, A и B (читается как "вероятность А и B").

$P(A)$ — вероятность наступления события A.

$P(B)$ — вероятность наступления события B.

Чтобы доказать, что события A и B в конкретной задаче являются независимыми, необходимо выполнить три шага:

1. Найти вероятность события A, то есть $P(A)$.

2. Найти вероятность события B, то есть $P(B)$.

3. Найти вероятность совместного наступления событий A и B, то есть $P(A \cap B)$.

Если окажется, что $P(A \cap B)$ в точности равно произведению $P(A) \cdot P(B)$, то события по определению являются независимыми. Если равенство не выполняется, события называются зависимыми.

Пример:

Рассмотрим эксперимент: подбрасывается игральная кость и монета.

Событие A: "на кости выпало число, кратное 3" (то есть 3 или 6).

Событие B: "на монете выпал орёл".

Найдем вероятности:

1. Всего исходов при броске кости 6. Благоприятных исходов для события A — 2 (числа 3 и 6).

$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. Всего исходов при броске монеты 2 ("орёл" и "решка"). Благоприятный исход для события B — 1 ("орёл").

$P(B) = \frac{1}{2}$

3. Теперь найдем вероятность совместного наступления событий. Общее число всех возможных элементарных исходов эксперимента — это пары (результат на кости, результат на монете). Всего таких пар $6 \times 2 = 12$.

Благоприятными для события $A \cap B$ являются исходы, где на кости выпало 3 или 6, И на монете выпал орёл. Таких исходов два: (3, орёл) и (6, орёл).

Следовательно, $P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Проверим равенство:

$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

Поскольку $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ (так как $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$), события A и B являются независимыми. Это логично, ведь результат броска кости никак не связан с результатом подбрасывания монеты.

Связь с условной вероятностью:

Независимость также можно определить через условную вероятность. Вероятность события A при условии, что событие B уже произошло, обозначается как $P(A|B)$. Если события независимы, то:

$P(A|B) = P(A)$ и $P(B|A) = P(B)$

Это интуитивно понятно: информация о том, что B произошло, не дает нам никакой новой информации о вероятности A. В нашем примере вероятность выкинуть "3 или 6" на кости останется равной $1/3$ даже если мы уже знаем, что на монете выпал "орёл".

Ответ: События A и B являются независимыми, если вероятность их одновременного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. На интуитивном уровне это означает, что исход одного события никак не влияет на исход другого.