Объясните, страница 201, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Почему события $A$ и $B$ независимые?

Два случайных события A и B называются независимыми, если наступление одного из них никак не влияет на вероятность наступления другого. Другими словами, знание о том, что событие B произошло (или не произошло), не меняет наших ожиданий относительно вероятности события A.

Математически это определение выражается через основное свойство независимых событий: вероятность совместного наступления (пересечения) двух независимых событий равна произведению их индивидуальных вероятностей.

Формула для независимых событий:

$P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$

где:

$P(A \cap B)$ — вероятность того, что произойдут оба события, A и B (читается как "вероятность А и B").

$P(A)$ — вероятность наступления события A.

$P(B)$ — вероятность наступления события B.

Чтобы доказать, что события A и B в конкретной задаче являются независимыми, необходимо выполнить три шага:

1. Найти вероятность события A, то есть $P(A)$.

2. Найти вероятность события B, то есть $P(B)$.

3. Найти вероятность совместного наступления событий A и B, то есть $P(A \cap B)$.

Если окажется, что $P(A \cap B)$ в точности равно произведению $P(A) \cdot P(B)$, то события по определению являются независимыми. Если равенство не выполняется, события называются зависимыми.

Пример:

Рассмотрим эксперимент: подбрасывается игральная кость и монета.

Событие A: "на кости выпало число, кратное 3" (то есть 3 или 6).

Событие B: "на монете выпал орёл".

Найдем вероятности:

1. Всего исходов при броске кости 6. Благоприятных исходов для события A — 2 (числа 3 и 6).

$P(A) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$

2. Всего исходов при броске монеты 2 ("орёл" и "решка"). Благоприятный исход для события B — 1 ("орёл").

$P(B) = \frac{1}{2}$

3. Теперь найдем вероятность совместного наступления событий. Общее число всех возможных элементарных исходов эксперимента — это пары (результат на кости, результат на монете). Всего таких пар $6 \times 2 = 12$.

Благоприятными для события $A \cap B$ являются исходы, где на кости выпало 3 или 6, И на монете выпал орёл. Таких исходов два: (3, орёл) и (6, орёл).

Следовательно, $P(A \cap B) = \frac{2}{12} = \frac{1}{6}$.

Проверим равенство:

$P(A) \cdot P(B) = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2} = \frac{1}{6}$

Поскольку $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$ (так как $\frac{1}{6} = \frac{1}{6}$), события A и B являются независимыми. Это логично, ведь результат броска кости никак не связан с результатом подбрасывания монеты.

Связь с условной вероятностью:

Независимость также можно определить через условную вероятность. Вероятность события A при условии, что событие B уже произошло, обозначается как $P(A|B)$. Если события независимы, то:

$P(A|B) = P(A)$ и $P(B|A) = P(B)$

Это интуитивно понятно: информация о том, что B произошло, не дает нам никакой новой информации о вероятности A. В нашем примере вероятность выкинуть "3 или 6" на кости останется равной $1/3$ даже если мы уже знаем, что на монете выпал "орёл".

Ответ: События A и B являются независимыми, если вероятность их одновременного наступления равна произведению их индивидуальных вероятностей: $P(A \cap B) = P(A) \cdot P(B)$. На интуитивном уровне это означает, что исход одного события никак не влияет на исход другого.