Объясните, страница 200, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

ОБЪЯСНИТЕ

Что означает запись $P(A/B)$?

Общее определение

Запись $P(A/B)$ (часто читается как "вероятность А при условии Б") обозначает условную вероятность. Это вероятность наступления события $A$ при условии, что другое событие, $B$, уже произошло. По сути, это ответ на вопрос: "Как изменится вероятность события $A$, если мы получим дополнительную информацию о том, что событие $B$ свершилось?". Факт наступления события $B$ сужает наше пространство возможных исходов только до тех, в которых $B$ истинно, и мы вычисляем вероятность $A$ в этом новом, суженном пространстве.

Ответ: Запись $P(A/B)$ означает условную вероятность события $A$ при условии, что событие $B$ уже произошло.

Формула для вычисления

Условная вероятность вычисляется по следующей формуле:$P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$В этой формуле:

* $P(A \cap B)$ — это вероятность пересечения событий $A$ и $B$. Иначе говоря, это вероятность того, что оба события $A$ и $B$ произойдут одновременно.

* $P(B)$ — это вероятность наступления события $B$.

Ключевое требование для применимости этой формулы — вероятность события $B$ должна быть строго больше нуля, то есть $P(B) > 0$. Нельзя находить вероятность при условии невозможного события.

Ответ: Условная вероятность вычисляется как отношение вероятности совместного наступления двух событий к вероятности события, которое является условием: $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)}$, при $P(B) > 0$.

Наглядный пример

Представим, что мы один раз бросаем обычный шестигранный игральный кубик.

* Пусть событие $A$ = "выпало чётное число". Исходы, благоприятствующие $A$: {2, 4, 6}.

* Пусть событие $B$ = "выпало число больше 3". Исходы, благоприятствующие $B$: {4, 5, 6}.

Задача — найти $P(A/B)$, то есть вероятность того, что выпало чётное число, если мы уже знаем, что результат броска — это число, большее 3.

Решение через сокращение пространства исходов:

Раз мы знаем, что событие $B$ произошло, то наш мир сузился до трёх возможных исходов: {4, 5, 6}. В этом новом мире мы ищем вероятность события $A$ (выпало чётное). Среди исходов {4, 5, 6} чётными являются два: {4, 6}. Таким образом, искомая вероятность равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу возможных исходов в новом пространстве: $2/3$.

Решение по формуле:

1. Найдём $P(A \cap B)$. Пересечение событий $A$ и $B$ — это "выпало чётное число и оно больше 3". Этому соответствуют исходы {4, 6}. Вероятность $P(A \cap B) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

2. Найдём $P(B)$. Вероятность "выпало число больше 3" (исходы {4, 5, 6}) равна $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

3. Подставим в формулу: $P(A/B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{1}{3} \cdot 2 = \frac{2}{3}$.

Результаты совпадают.

Ответ: Вероятность выпадения чётного числа при условии, что выпало число больше 3, на игральном кубике равна $2/3$.