Задания, страница 201, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

Убедитесь, что $P(A/B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

Формула $P(A/B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$ является определением условной вероятности. Давайте убедимся в ее справедливости, исходя из классического определения вероятности, которое применимо для экспериментов с конечным числом равновозможных исходов.

Пусть $N$ — общее число равновозможных элементарных исходов эксперимента.

Пусть $N(A)$ — число исходов, благоприятствующих событию A.

Пусть $N(B)$ — число исходов, благоприятствующих событию B.

Пусть $N(AB)$ — число исходов, благоприятствующих одновременному наступлению событий A и B (их пересечению).

По классическому определению, вероятность события — это отношение числа благоприятствующих ему исходов к общему числу исходов:

$P(B) = \frac{N(B)}{N}$

$P(AB) = \frac{N(AB)}{N}$

Условная вероятность $P(A/B)$ — это вероятность наступления события A при условии, что событие B уже произошло. Когда мы получаем информацию, что событие B наступило, пространство всех возможных исходов для нас сужается. Вместо всех $N$ исходов мы теперь рассматриваем только те $N(B)$ исходов, которые составляют событие B. Это наше новое, редуцированное пространство исходов.

В этом новом пространстве, состоящем из $N(B)$ исходов, мы ищем те, которые благоприятствуют событию A. Это будут исходы, которые принадлежат и B (наше условие), и A (наш интерес). То есть это в точности исходы, составляющие событие AB. Их число равно $N(AB)$.

Таким образом, условная вероятность $P(A/B)$ по своей сути — это вероятность, вычисленная для нового, суженного пространства исходов. По классическому определению она будет равна:

$P(A/B) = \frac{\text{число благоприятствующих исходов в новом пространстве}}{\text{общее число исходов в новом пространстве}} = \frac{N(AB)}{N(B)}$

Теперь покажем, что это выражение тождественно равно правой части исходной формулы. Разделим числитель и знаменатель дроби $\frac{N(AB)}{N(B)}$ на общее число исходов $N$:

$P(A/B) = \frac{N(AB)}{N(B)} = \frac{N(AB)/N}{N(B)/N}$

Заметим, что числитель полученной дроби, $\frac{N(AB)}{N}$, есть не что иное, как вероятность $P(AB)$, а знаменатель, $\frac{N(B)}{N}$, — это вероятность $P(B)$.

Таким образом, мы приходим к искомой формуле:

$P(A/B) = \frac{P(AB)}{P(B)}$

Эта формула верна при условии, что $P(B) > 0$, так как событие B, которое уже наступило, не может быть невозможным.

Рассмотрим наглядный пример. Бросаем игральный кубик. Пусть событие A = "выпало чётное число", а событие B = "выпало число больше 3".

Вероятность события B (выпало 4, 5 или 6) равна $P(B) = \frac{3}{6} = \frac{1}{2}$.

Событие AB (выпало чётное число И больше 3) — это выпадение 4 или 6. Вероятность этого события $P(AB) = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Тогда по формуле условная вероятность события A при условии B равна:

$P(A/B) = \frac{P(AB)}{P(B)} = \frac{1/3}{1/2} = \frac{2}{3}$.

Этот результат интуитивно понятен: если мы знаем, что выпало число из набора $\{4, 5, 6\}$, то в этом наборе есть три равновероятных исхода. Два из них (4 и 6) являются чётными. Следовательно, вероятность выбрать чётное число из этого набора равна $\frac{2}{3}$. Это и подтверждает правильность формулы.

Ответ: Представленная формула является определением условной вероятности. Ее справедливость можно продемонстрировать, исходя из классического определения вероятности. Когда событие B наступает, оно становится новым, уменьшенным пространством элементарных исходов. Вероятность наступления события A в этом новом пространстве равна отношению числа исходов, благоприятствующих A и B одновременно ($N(AB)$), к общему числу исходов в B ($N(B)$), что математически эквивалентно отношению их вероятностей $\frac{P(AB)}{P(B)}$.