Номер 27.1, страница 202, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.1. В произвольном порядке выписываются две буквы $P$ и две буквы $H$. Найдите вероятность того, что обе буквы $H$ будут стоять рядом при условии, что:

1) буква $P$ стоит последней;

2) буква $H$ стоит второй;

3) буква $H$ стоит первой.

Для решения задачи будем использовать определение условной вероятности. В каждом пункте мы сначала определим новое, суженное пространство элементарных исходов, которое соответствует заданному условию. Затем в этом новом пространстве мы найдем количество благоприятных исходов (тех, где обе буквы Н стоят рядом) и разделим его на общее количество исходов в суженном пространстве.

Исходный набор букв: {Р, Р, Н, Н}.

Пусть событие $B_1$ заключается в том, что буква Р стоит на последнем, четвертом месте. Если это условие выполнено, то на первых трех местах должны располагаться одна буква Р и две буквы Н. Найдем общее число таких расположений. Это число перестановок с повторениями для набора {Р, Н, Н}, которое равно $n_1 = \frac{3!}{1!2!} = 3$.

Вот эти три возможных расположения первых трех букв: РНН, НРН, ННР.

Соответственно, полные четырехбуквенные слова, удовлетворяющие условию $B_1$, будут: РННР, НРНР, ННРР. Это наше новое пространство элементарных исходов.

Теперь найдем, в скольких из этих трех исходов обе буквы Н стоят рядом.

1. РННР - буквы Н стоят рядом.

2. НРНР - буквы Н не стоят рядом.

3. ННРР - буквы Н стоят рядом.

Таким образом, у нас есть $m_1 = 2$ благоприятных исхода.

Вероятность того, что обе буквы Н будут стоять рядом, при условии, что буква Р стоит последней, равна отношению числа благоприятных исходов к общему числу исходов в новом пространстве:

$P = \frac{m_1}{n_1} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

Пусть событие $B_2$ заключается в том, что буква Н стоит на втором месте. Тогда на оставшихся трех позициях (первой, третьей и четвертой) должны располагаться две буквы Р и одна буква Н. Найдем общее число таких расположений. Это число перестановок с повторениями для набора {Р, Р, Н}, которое равно $n_2 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

Перечислим все возможные слова, удовлетворяющие условию $B_2$. Для этого расставим буквы {Р, Р, Н} на позициях 1, 3, 4:

1. Н на первом месте: ННРР.

2. Н на третьем месте: РННР.

3. Н на четвертом месте: РНРН.

Таким образом, наше новое пространство элементарных исходов состоит из трех комбинаций: {ННРР, РННР, РНРН}.

Теперь найдем, в скольких из этих трех исходов обе буквы Н стоят рядом. Две буквы Н стоят рядом, если вторая буква Н находится на первом или третьем месте.

1. ННРР - буквы Н стоят рядом (на 1-й и 2-й позициях).

2. РННР - буквы Н стоят рядом (на 2-й и 3-й позициях).

3. РНРН - буквы Н не стоят рядом.

Следовательно, у нас есть $m_2 = 2$ благоприятных исхода.

Искомая условная вероятность равна:

$P = \frac{m_2}{n_2} = \frac{2}{3}$.

Ответ: $\frac{2}{3}$

Пусть событие $B_3$ заключается в том, что буква Н стоит на первом месте. Тогда на оставшихся трех позициях (второй, третьей и четвертой) должны располагаться две буквы Р и одна буква Н. Общее число таких расположений, как и в предыдущем пункте, равно числу перестановок набора {Р, Р, Н}: $n_3 = \frac{3!}{2!1!} = 3$.

Перечислим все возможные слова, удовлетворяющие условию $B_3$. Для этого разместим оставшуюся букву Н на одной из трех свободных позиций (2, 3 или 4):

1. Н на втором месте: ННРР.

2. Н на третьем месте: НРНР.

3. Н на четвертом месте: НРРН.

Новое пространство элементарных исходов: {ННРР, НРНР, НРРН}.

Теперь определим, в скольких из этих трех исходов обе буквы Н стоят рядом. Так как одна буква Н уже стоит на первом месте, то для выполнения условия, что они стоят рядом, вторая буква Н должна стоять на втором месте.

1. ННРР - буквы Н стоят рядом.

2. НРНР - буквы Н не стоят рядом.

3. НРРН - буквы Н не стоят рядом.

Следовательно, у нас есть только $m_3 = 1$ благоприятный исход.

Искомая условная вероятность равна:

$P = \frac{m_3}{n_3} = \frac{1}{3}$.

Ответ: $\frac{1}{3}$