Номер 27.7, страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.7. В каждой из двух коробок находятся по 5 кубиков — 2 синих, зеленый, белый и красный. Выбирается случайным образом коробка и из нее вынимается кубик. Найдите вероятность того, что:

1) будет вынут белый кубик;

2) будет выбрана вторая коробка и из нее вынут синий кубик.

В задаче рассматривается двухэтапный случайный эксперимент. Сначала выбирается одна из двух коробок, затем из нее вынимается один кубик. В каждой коробке находится по 5 кубиков: 2 синих, 1 зеленый, 1 белый и 1 красный.

1) будет вынут белый кубик;

Пусть событие $A$ заключается в том, что был вынут белый кубик. Это событие может произойти двумя способами: либо была выбрана первая коробка и из нее вынут белый кубик, либо была выбрана вторая коробка и из нее вынут белый кубик.

Вероятность выбрать первую коробку равна $P_1 = \frac{1}{2}$. Вероятность выбрать вторую коробку также равна $P_2 = \frac{1}{2}$.

В каждой коробке 1 белый кубик из 5. Поэтому условная вероятность вынуть белый кубик, если выбрана первая коробка, равна $\frac{1}{5}$. Аналогично, условная вероятность вынуть белый кубик, если выбрана вторая коробка, также равна $\frac{1}{5}$.

По формуле полной вероятности, искомая вероятность $P(A)$ равна сумме произведений вероятностей выбора каждой коробки на условную вероятность извлечения белого кубика из этой коробки:

$P(A) = P_1 \cdot P(A|P_1) + P_2 \cdot P(A|P_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{5} = \frac{1}{10} + \frac{1}{10} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Так как состав кубиков в обеих коробках идентичен, вероятность вынуть белый кубик не зависит от того, какая коробка была выбрана, и равна отношению числа белых кубиков к общему числу кубиков в одной коробке.

Ответ: $\frac{1}{5}$

2) будет выбрана вторая коробка и из нее вынут синий кубик.

Это событие является произведением двух зависимых событий: событие $B_2$ – "выбрана вторая коробка" и событие $C$ – "из выбранной коробки вынут синий кубик".

Вероятность выбрать вторую коробку равна $P(B_2) = \frac{1}{2}$.

Во второй коробке находятся 2 синих кубика из 5. Следовательно, условная вероятность вынуть синий кубик при условии, что была выбрана вторая коробка, равна $P(C|B_2) = \frac{2}{5}$.

Вероятность того, что произойдут оба этих события, находится по формуле произведения вероятностей:

$P(B_2 \cap C) = P(B_2) \cdot P(C|B_2) = \frac{1}{2} \cdot \frac{2}{5} = \frac{2}{10} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$