Номер 27.6, страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.6. Среди 100 лотерейных билетов, где только 10 выигрышных, куплено 3 билета. Рассматриваются события: А — выиграл первый билет; В — выиграл второй билет; С — выиграл третий билет. Найдите вероятность того, что выиграет только третий билет.

Для решения задачи необходимо найти вероятность наступления последовательности из трех событий: первый купленный билет оказался проигрышным, второй — тоже проигрышным, а третий — выигрышным. Так как билеты извлекаются из общей совокупности без возвращения, эти события являются зависимыми. Для расчета итоговой вероятности используется теорема умножения вероятностей.

Исходные данные:

Всего билетов: 100.

Выигрышных билетов: 10.

Проигрышных билетов: $100 - 10 = 90$.

1. Найдем вероятность того, что первый билет — проигрышный.На момент первого извлечения имеется 90 проигрышных билетов из 100. Вероятность этого события:$P_1 = \frac{90}{100}$

2. Найдем вероятность того, что второй билет — проигрышный, при условии, что первый уже был проигрышным.После первого извлечения осталось 99 билетов, из них 89 проигрышных. Вероятность этого события:$P_2 = \frac{89}{99}$

3. Найдем вероятность того, что третий билет — выигрышный, при условии, что первые два были проигрышными.После двух извлечений осталось 98 билетов, среди которых все еще 10 выигрышных. Вероятность этого события:$P_3 = \frac{10}{98}$

Искомая вероятность того, что выиграет только третий билет, равна произведению вероятностей этих трех событий:$P = P_1 \cdot P_2 \cdot P_3 = \frac{90}{100} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{10}{98}$

Упростим полученное выражение:$P = \frac{90 \cdot 89 \cdot 10}{100 \cdot 99 \cdot 98} = \frac{9 \cdot \cancel{10}}{100} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{10}{98} = \frac{9}{10} \cdot \frac{89}{99} \cdot \frac{10}{98} = \frac{\cancel{9}}{\cancel{10}} \cdot \frac{89}{\cancel{99}_{11}} \cdot \frac{\cancel{10}}{98} = \frac{89}{11 \cdot 98} = \frac{89}{1078}$

Ответ: $\frac{89}{1078}$