Номер 27.12, страница 203, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.12. Среди 100 лотерейных билетов есть 20 выигрышных:

1) Найдите вероятность того, что три наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

2) Найдите вероятность того, что среди двух наудачу выбранных билетов есть выигрышные.

1) Найдите вероятность того, что три наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

Для решения задачи используем классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

Общее число способов выбрать 3 билета из 100 — это число сочетаний из 100 по 3, которое обозначается $C_{100}^3$.

$n = C_{100}^3 = \frac{100!}{3!(100-3)!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 100 \cdot 33 \cdot 49 = 161700$.

Число благоприятствующих исходов — это количество способов выбрать 3 выигрышных билета из 20 имеющихся. Это число сочетаний $C_{20}^3$.

$m = C_{20}^3 = \frac{20!}{3!(20-3)!} = \frac{20 \cdot 19 \cdot 18}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 20 \cdot 19 \cdot 3 = 1140$.

Искомая вероятность равна отношению числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов:

$P_1 = \frac{m}{n} = \frac{1140}{161700} = \frac{114}{16170} = \frac{19}{2695}$.

Ответ: $\frac{19}{2695}$.

2) Найдите вероятность того, что среди двух наудачу выбранных билетов есть выигрышные.

Событие "среди двух наудачу выбранных билетов есть выигрышные" означает, что выигрышным может быть один или оба билета. Проще найти вероятность противоположного события $A'$, которое заключается в том, что "оба выбранных билета не являются выигрышными". Искомая вероятность $P(A)$ будет равна $1 - P(A')$.

Всего в лотерее 100 билетов, из них 20 выигрышных и, следовательно, $100 - 20 = 80$ невыигрышных.

Найдем вероятность события $A'$. Общее число способов выбрать 2 билета из 100 равно $n = C_{100}^2$.

$n = C_{100}^2 = \frac{100 \cdot 99}{2} = 4950$.

Число способов выбрать 2 невыигрышных билета из 80 равно $m' = C_{80}^2$.

$m' = C_{80}^2 = \frac{80 \cdot 79}{2} = 40 \cdot 79 = 3160$.

Вероятность того, что оба билета невыигрышные, равна:

$P(A') = \frac{m'}{n} = \frac{3160}{4950} = \frac{316}{495}$.

Тогда искомая вероятность $P(A)$, что среди двух билетов есть хотя бы один выигрышный, равна:

$P(A) = 1 - P(A') = 1 - \frac{316}{495} = \frac{495 - 316}{495} = \frac{179}{495}$.

Ответ: $\frac{179}{495}$.