Номер 27.2, страница 202, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

27.2. Серди 100 лотерейных билетов есть 10 выигрышных:

1) Найдите вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

2) Найдите вероятность того, что из двух наудачу выбранных билетов только один окажется выигрышным.

1) Найдите вероятность того, что два наудачу выбранных билета окажутся выигрышными.

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ – число исходов, благоприятствующих событию $A$.

Всего имеется 100 билетов. Общее число способов выбрать 2 билета из 100 (без учета порядка) равно числу сочетаний из 100 по 2. Это и будет общее число исходов $n$.

$n = C_{100}^2 = \frac{100!}{2!(100-2)!} = \frac{100 \times 99}{2 \times 1} = 50 \times 99 = 4950$.

Событие $A$ состоит в том, что оба выбранных билета являются выигрышными. В лотерее 10 выигрышных билетов. Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 10 имеющихся (число благоприятствующих исходов $m$) равно:

$m = C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \times 9}{2 \times 1} = 45$.

Таким образом, вероятность того, что оба билета окажутся выигрышными, равна:

$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{C_{10}^2}{C_{100}^2} = \frac{45}{4950} = \frac{1}{110}$.

Ответ: $\frac{1}{110}$

2) Найдите вероятность того, что из двух наудачу выбранных билетов только один окажется выигрышным.

Событие $B$ состоит в том, что из двух выбранных билетов ровно один является выигрышным. Это означает, что один выбранный билет должен быть выигрышным, а второй – проигрышным.

Количество выигрышных билетов – 10.

Количество проигрышных билетов – $100 - 10 = 90$.

Число способов выбрать 1 выигрышный билет из 10 равно $C_{10}^1 = 10$.

Число способов выбрать 1 проигрышный билет из 90 равно $C_{90}^1 = 90$.

Согласно правилу произведения в комбинаторике, число благоприятствующих исходов $m$ (выбрать 1 выигрышный И 1 проигрышный билет) равно произведению этих способов:

$m = C_{10}^1 \times C_{90}^1 = 10 \times 90 = 900$.

Общее число способов выбрать 2 любых билета из 100 по-прежнему равно $n = C_{100}^2 = 4950$.

Вероятность того, что ровно один из двух билетов будет выигрышным, равна:

$P(B) = \frac{m}{n} = \frac{C_{10}^1 \times C_{90}^1}{C_{100}^2} = \frac{900}{4950} = \frac{90}{495} = \frac{2}{11}$.

Ответ: $\frac{2}{11}$