Номер 26.11, страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

26.11. Из 100 лотерейных билетов 10 выигрышных. Приобретены 5 билетов. Найдите вероятность того, что среди приобретенных билетов будут два выигрышных.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула выглядит так: $P(A) = \frac{m}{n}$.

В данной задаче событие A — это «среди 5 приобретенных билетов ровно 2 выигрышных».

Сначала определим общее число всех возможных исходов, $n$. Это число способов, которыми можно выбрать 5 билетов из 100 имеющихся. Поскольку порядок выбора билетов не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.$n = C_{100}^5 = \frac{100!}{5!(100-5)!} = \frac{100!}{5!95!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Далее найдем число исходов, благоприятствующих нашему событию, $m$. Благоприятный исход — это когда из 5 выбранных билетов 2 являются выигрышными и, соответственно, 3 являются проигрышными.В лотерее 10 выигрышных билетов и $100 - 10 = 90$ проигрышных.Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 10 равно:$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.Число способов выбрать 3 проигрышных билета из 90 равно:$C_{90}^3 = \frac{90!}{3!(90-3)!} = \frac{90 \cdot 89 \cdot 88}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 15 \cdot 89 \cdot 88 = 117480$.Чтобы найти общее число благоприятных исходов $m$, нужно перемножить эти два значения, так как выбор выигрышных и проигрышных билетов — независимые части одного сложного события:$m = C_{10}^2 \cdot C_{90}^3 = 45 \cdot 117480 = 5286600$.

Теперь мы можем рассчитать вероятность события A:$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{C_{10}^2 \cdot C_{90}^3}{C_{100}^5} = \frac{\frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{90 \cdot 89 \cdot 88}{6}}{\frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}{120}}$.Для удобства проведем сокращения в выражении, не вычисляя огромные числа:$P(A) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96)} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 10}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}$.Сокращаем $10 \cdot 10$ в числителе и $100$ в знаменателе:$P(A) = \frac{9 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88}{99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}$.Продолжаем сокращать:$P(A) = \frac{9 \cdot (10 \cdot 9) \cdot 89 \cdot (8 \cdot 11)}{(11 \cdot 9) \cdot 98 \cdot 97 \cdot (12 \cdot 8)} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 89}{98 \cdot 97 \cdot 12} = \frac{(3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 89}{(2 \cdot 49) \cdot 97 \cdot (3 \cdot 4)} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 89}{49 \cdot 97 \cdot 4}$.Вычисляем итоговые значения:$P(A) = \frac{15 \cdot 89}{196 \cdot 97} = \frac{1335}{19012}$.Приблизительное значение вероятности: $P(A) \approx 0.0702$.

Ответ: $\frac{1335}{19012}$.