Страница 197, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

26.5. Из 100 лотерейных билетов 15 выигрышных. Приобретен один билет. Найдите вероятность того, что лотерейный билет:

1) выигрышный;

2) не выигрышный.

1) выигрышный

По классическому определению вероятности, вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов.

Общее число исходов $n$ — это общее количество лотерейных билетов, то есть $n=100$.

Число благоприятствующих исходов $m$ — это количество выигрышных билетов, то есть $m=15$.

Вероятность $P$ того, что купленный билет окажется выигрышным, вычисляется по формуле:

$P = \frac{m}{n} = \frac{15}{100} = 0,15$.

Ответ: 0,15

2) не выигрышный

Сначала найдем количество невыигрышных билетов. Для этого из общего количества билетов вычтем количество выигрышных:

$100 - 15 = 85$.

Таким образом, число исходов, благоприятствующих покупке невыигрышного билета, равно $m=85$. Общее число исходов остается прежним, $n=100$.

Вероятность $P$ того, что купленный билет окажется невыигрышным, равна:

$P = \frac{m}{n} = \frac{85}{100} = 0,85$.

Этот результат также можно получить, используя свойство противоположных событий. События "билет выигрышный" и "билет не выигрышный" являются противоположными, и сумма их вероятностей равна 1. Поэтому вероятность купить невыигрышный билет равна:

$1 - 0,15 = 0,85$.

Ответ: 0,85

26.6. Брошены две игральные кости. Найдите вероятность того, что значение произведения выпавших очков равно:

1) 5;

2) 6.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

При броске двух игральных костей на каждой может выпасть число от 1 до 6. Общее число всех возможных комбинаций (исходов) равно произведению числа вариантов для каждой кости: $n = 6 \times 6 = 36$.

1) Найдем вероятность того, что произведение выпавших очков равно 5.

Событие A — произведение очков равно 5. Найдем количество благоприятных исходов $m_1$. Число 5 является простым, поэтому в виде произведения двух целых чисел от 1 до 6 оно может быть представлено только двумя способами:

- $1 \times 5 = 5$ (комбинация на костях: 1 и 5)

- $5 \times 1 = 5$ (комбинация на костях: 5 и 1)

Таким образом, существует 2 благоприятных исхода: (1, 5) и (5, 1).

Число благоприятных исходов $m_1 = 2$.

Вероятность события A равна: $P(A) = \frac{m_1}{n} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$.

Ответ: $\frac{1}{18}$.

2) Найдем вероятность того, что произведение выпавших очков равно 6.

Событие B — произведение очков равно 6. Найдем количество благоприятных исходов $m_2$. Число 6 можно получить произведением двух чисел от 1 до 6 следующими способами:

- $1 \times 6 = 6$ (комбинация на костях: 1 и 6)

- $6 \times 1 = 6$ (комбинация на костях: 6 и 1)

- $2 \times 3 = 6$ (комбинация на костях: 2 и 3)

- $3 \times 2 = 6$ (комбинация на костях: 3 и 2)

Таким образом, существует 4 благоприятных исхода: (1, 6), (6, 1), (2, 3) и (3, 2).

Число благоприятных исходов $m_2 = 4$.

Вероятность события B равна: $P(B) = \frac{m_2}{n} = \frac{4}{36} = \frac{1}{9}$.

Ответ: $\frac{1}{9}$.

26.7. 1) Монета брошена два раза. Какова вероятность того, что хотя бы один раз появится герб?

2) Брошены три монеты. Какова вероятность того, что выпадут ровно два герба?

1) Для решения этой задачи определим все возможные исходы при двукратном броске монеты. Обозначим выпадение герба буквой "Г", а выпадение решки – буквой "Р".

Поскольку каждый бросок является независимым событием с двумя возможными исходами, общее количество всех равновероятных исходов при двух бросках составляет $n = 2 \times 2 = 4$.

Перечислим все возможные исходы:

1. ГГ (герб, герб)

2. ГР (герб, решка)

3. РГ (решка, герб)

4. РР (решка, решка)

Нас интересует событие "хотя бы один раз появится герб". Это означает, что в результате двух бросков выпадет один герб или два герба. Найдем количество благоприятных исходов ($m$), которые удовлетворяют этому условию:

1. ГГ (выпало два герба)

2. ГР (выпал один герб)

3. РГ (выпал один герб)

Таким образом, количество благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность события $P$ вычисляется по классической формуле как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{3}{4}$

Ответ: $\frac{3}{4}$

2) При одновременном броске трех монет общее число всех возможных равновероятных исходов равно $n = 2^3 = 8$, так как для каждой из трех монет есть два варианта (герб или решка).

Перечислим все возможные комбинации исходов (Г - герб, Р - решка):

1. ГГГ

2. ГГР

3. ГРГ

4. РГГ

5. ГРР

6. РГР

7. РРГ

8. РРР

Нам необходимо найти вероятность события "выпадут ровно два герба". Найдем количество благоприятных исходов ($m$), то есть тех комбинаций, где есть ровно две буквы "Г":

1. ГГР

2. ГРГ

3. РГГ

Количество благоприятных исходов $m=3$.

Вероятность этого события $P$ вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов:

$P = \frac{m}{n} = \frac{3}{8}$

Ответ: $\frac{3}{8}$

26.8. В таблице 16 приведены данные о продаже билетов на поездку в поездах, следующих из Алматы, за один день.

Таблица 16

Тип поездаСкоростной поездСкорый поездПассажирский поездПригородный поезд

Количество проданных за день билетов 150 445 734 896

Найдите вероятность того, что очередной пассажир купит билет на поезд:

1) скорый;

2) пассажирский;

3) пригородный.

Для решения задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула выглядит так: $P(A) = \frac{m}{n}$, где $n$ – общее число исходов, а $m$ – число благоприятствующих исходов.

В данном случае, исходом является покупка одного билета.

1. Сначала найдем общее число проданных билетов ($n$). Для этого сложим количество билетов, проданных на каждый тип поезда, используя данные из таблицы 16:

$n = \text{билеты на скоростной} + \text{билеты на скорый} + \text{билеты на пассажирский} + \text{билеты на пригородный}$

$n = 150 + 445 + 734 + 896 = 2225$

Таким образом, общее число проданных билетов за день составляет 2225. Это и будет общее число исходов ($n$).

Теперь рассчитаем вероятность для каждого из указанных случаев.

1) скорый

Число благоприятствующих исходов ($m_1$) — это количество проданных билетов на скорый поезд. Согласно таблице, $m_1 = 445$.

Вероятность того, что очередной пассажир купит билет на скорый поезд, вычисляется по формуле:

$P_1 = \frac{m_1}{n} = \frac{445}{2225}$

Сократим полученную дробь. Заметим, что $2225 = 5 \times 445$.

$P_1 = \frac{445}{5 \times 445} = \frac{1}{5}$

Ответ: $\frac{1}{5}$

2) пассажирский

Число благоприятствующих исходов ($m_2$) — это количество проданных билетов на пассажирский поезд. Согласно таблице, $m_2 = 734$.

Вероятность того, что очередной пассажир купит билет на пассажирский поезд, равна:

$P_2 = \frac{m_2}{n} = \frac{734}{2225}$

Чтобы проверить, можно ли сократить эту дробь, разложим знаменатель на простые множители: $2225 = 5^2 \times 89$. Числитель 734 не делится на 5 (так как не оканчивается на 0 или 5) и не делится на 89 ($734 \div 89 \approx 8.25$). Следовательно, дробь является несократимой.

Ответ: $\frac{734}{2225}$

3) пригородный

Число благоприятствующих исходов ($m_3$) — это количество проданных билетов на пригородный поезд. Согласно таблице, $m_3 = 896$.

Вероятность того, что очередной пассажир купит билет на пригородный поезд, равна:

$P_3 = \frac{m_3}{n} = \frac{896}{2225}$

Аналогично предыдущему пункту, проверим возможность сокращения. Знаменатель $2225 = 5^2 \times 89$. Числитель 896 не делится на 5 и не делится на 89 ($896 \div 89 \approx 10.06$). Следовательно, эта дробь также является несократимой.

Ответ: $\frac{896}{2225}$

26.9. Для экзамена подготовлены билеты с номерами от 1 до 25. Какова вероятность того, что взятый наугад учащимся билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?

Для решения задачи воспользуемся классическим определением вероятности, согласно которому вероятность события $P$ вычисляется по формуле $P = \frac{m}{N}$, где $N$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае общее число исходов — это общее количество экзаменационных билетов. По условию, билеты имеют номера от 1 до 25, следовательно, $N = 25$.

1) однозначный номер

Найдем вероятность того, что номер взятого наугад билета является однозначным. Благоприятствующими исходами являются билеты с однозначными номерами. В диапазоне от 1 до 25 это номера: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.Количество таких билетов (число благоприятствующих исходов) равно $m = 9$.Вероятность вытянуть билет с однозначным номером равна:$P_1 = \frac{m}{N} = \frac{9}{25}$Можно перевести эту дробь в десятичную: $\frac{9}{25} = 0,36$.

Ответ: $\frac{9}{25}$.

2) двузначный номер

Найдем вероятность того, что номер взятого наугад билета является двузначным. Благоприятствующими исходами являются билеты с двузначными номерами. В диапазоне от 1 до 25 это номера от 10 до 25.Количество таких билетов можно посчитать, вычтя из общего числа билетов (25) количество билетов с однозначными номерами (9):$m = 25 - 9 = 16$.Вероятность вытянуть билет с двузначным номером равна:$P_2 = \frac{m}{N} = \frac{16}{25}$Можно перевести эту дробь в десятичную: $\frac{16}{25} = 0,64$.Заметим, что события «вытянуть билет с однозначным номером» и «вытянуть билет с двузначным номером» являются взаимодополняющими, поэтому сумма их вероятностей равна 1: $P_1 + P_2 = \frac{9}{25} + \frac{16}{25} = \frac{25}{25} = 1$.

Ответ: $\frac{16}{25}$.

26.10. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

1) оканчивается нулем;

2) состоит из одинаковых цифр;

3) больше 27 и меньше 46;

4) не является квадратом целого числа.

Для решения задачи сначала определим общее количество возможных исходов. Двузначные числа — это целые числа от 10 до 99 включительно. Их общее количество $n$ можно вычислить как $99 - 10 + 1 = 90$. Вероятность события $A$ вычисляется по классической формуле $P(A) = \frac{m}{n}$, где $m$ — число благоприятных исходов, а $n$ — общее число исходов.

1) оканчивается нулем;

Благоприятными исходами являются двузначные числа, оканчивающиеся на 0. Это числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90. Всего таких чисел $m = 9$. Вероятность того, что выбранное число оканчивается нулем, равна $P = \frac{m}{n} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

2) состоит из одинаковых цифр;

Благоприятными исходами являются двузначные числа, у которых первая и вторая цифры совпадают. Это числа: 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99. Всего таких чисел $m = 9$. Вероятность того, что выбранное число состоит из одинаковых цифр, равна $P = \frac{m}{n} = \frac{9}{90} = \frac{1}{10}$.

Ответ: $\frac{1}{10}$.

3) больше 27 и меньше 46;

Благоприятными исходами являются двузначные числа, которые находятся в интервале $(27, 46)$. Это числа от 28 до 45 включительно. Их количество $m$ можно найти так: $45 - 28 + 1 = 18$. Вероятность того, что выбранное число больше 27 и меньше 46, равна $P = \frac{m}{n} = \frac{18}{90} = \frac{1}{5}$.

Ответ: $\frac{1}{5}$.

4) не является квадратом целого числа.

Это событие является противоположным событию "выбранное число является квадратом целого числа". Сначала найдем количество двузначных чисел, которые являются квадратами целых чисел. Это: $4^2 = 16$, $5^2 = 25$, $6^2 = 36$, $7^2 = 49$, $8^2 = 64$, $9^2 = 81$. Всего таких чисел 6. Количество благоприятных исходов (чисел, которые не являются квадратами) равно $m = 90 - 6 = 84$. Тогда искомая вероятность равна $P = \frac{m}{n} = \frac{84}{90} = \frac{14}{15}$.

Ответ: $\frac{14}{15}$.

26.11. Из 100 лотерейных билетов 10 выигрышных. Приобретены 5 билетов. Найдите вероятность того, что среди приобретенных билетов будут два выигрышных.

Для решения этой задачи используется классическое определение вероятности, согласно которому вероятность события равна отношению числа благоприятствующих этому событию исходов к общему числу всех равновозможных исходов. Формула выглядит так: $P(A) = \frac{m}{n}$.

В данной задаче событие A — это «среди 5 приобретенных билетов ровно 2 выигрышных».

Сначала определим общее число всех возможных исходов, $n$. Это число способов, которыми можно выбрать 5 билетов из 100 имеющихся. Поскольку порядок выбора билетов не имеет значения, мы используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.$n = C_{100}^5 = \frac{100!}{5!(100-5)!} = \frac{100!}{5!95!} = \frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}{5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1}$.

Далее найдем число исходов, благоприятствующих нашему событию, $m$. Благоприятный исход — это когда из 5 выбранных билетов 2 являются выигрышными и, соответственно, 3 являются проигрышными.В лотерее 10 выигрышных билетов и $100 - 10 = 90$ проигрышных.Число способов выбрать 2 выигрышных билета из 10 равно:$C_{10}^2 = \frac{10!}{2!(10-2)!} = \frac{10 \cdot 9}{2 \cdot 1} = 45$.Число способов выбрать 3 проигрышных билета из 90 равно:$C_{90}^3 = \frac{90!}{3!(90-3)!} = \frac{90 \cdot 89 \cdot 88}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 15 \cdot 89 \cdot 88 = 117480$.Чтобы найти общее число благоприятных исходов $m$, нужно перемножить эти два значения, так как выбор выигрышных и проигрышных билетов — независимые части одного сложного события:$m = C_{10}^2 \cdot C_{90}^3 = 45 \cdot 117480 = 5286600$.

Теперь мы можем рассчитать вероятность события A:$P(A) = \frac{m}{n} = \frac{C_{10}^2 \cdot C_{90}^3}{C_{100}^5} = \frac{\frac{10 \cdot 9}{2} \cdot \frac{90 \cdot 89 \cdot 88}{6}}{\frac{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}{120}}$.Для удобства проведем сокращения в выражении, не вычисляя огромные числа:$P(A) = \frac{10 \cdot 9 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot (5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1)}{(2 \cdot 1) \cdot (3 \cdot 2 \cdot 1) \cdot (100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96)} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88 \cdot 10}{100 \cdot 99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}$.Сокращаем $10 \cdot 10$ в числителе и $100$ в знаменателе:$P(A) = \frac{9 \cdot 90 \cdot 89 \cdot 88}{99 \cdot 98 \cdot 97 \cdot 96}$.Продолжаем сокращать:$P(A) = \frac{9 \cdot (10 \cdot 9) \cdot 89 \cdot (8 \cdot 11)}{(11 \cdot 9) \cdot 98 \cdot 97 \cdot (12 \cdot 8)} = \frac{9 \cdot 10 \cdot 89}{98 \cdot 97 \cdot 12} = \frac{(3 \cdot 3) \cdot (5 \cdot 2) \cdot 89}{(2 \cdot 49) \cdot 97 \cdot (3 \cdot 4)} = \frac{3 \cdot 5 \cdot 89}{49 \cdot 97 \cdot 4}$.Вычисляем итоговые значения:$P(A) = \frac{15 \cdot 89}{196 \cdot 97} = \frac{1335}{19012}$.Приблизительное значение вероятности: $P(A) \approx 0.0702$.

Ответ: $\frac{1335}{19012}$.

26.12. Изучение случайных явлений до середины XVII в. носило чисто качественный характер.

В XIX столетии теория вероятностей начала успешно применяться к решению задач прикладного характера.

В настоящее время теория вероятностей применяется при анализе различных процессов и явлений. Она изучает количественные закономерности, которым подчиняются однородные массовые события, поэтому позволяет предвидеть события в массовых явлениях.

Изучение случайных явлений до середины XVII в.

В тексте утверждается, что до середины XVII века изучение случайных явлений носило чисто качественный характер. Это означает, что люди осознавали существование случайности в своей жизни, например, в азартных играх (кости, карты) или при определении жребия. Однако у них не было математического аппарата для точного измерения и сравнения шансов различных исходов. Наблюдения были основаны на интуиции и опыте, а не на строгих расчетах. Например, можно было сказать, что выпадение «орла» при подбрасывании монеты — это случайность, но не было способа выразить эту случайность числом (вероятностью) и использовать это число для предсказаний или анализа.

Ответ: До середины XVII века случайные события описывались без использования чисел и формул, на уровне «более вероятно» или «менее вероятно», то есть качественно.

Применение теории вероятностей в XIX в.

В XIX веке, как указано в тексте, теория вероятностей начала активно применяться для решения прикладных задач. Этот переход от чисто теоретических или игровых задач к практическим был связан с развитием науки и общества. Основы теории были заложены в XVII-XVIII веках работами Паскаля, Ферма, Бернулли и Лапласа. Именно Лаплас в своей работе «Аналитическая теория вероятностей» (1812 г.) показал широкие возможности применения этой науки. В XIX веке теория вероятностей стала инструментом в таких областях, как:

• Астрономия и геодезия: Карл Гаусс разработал метод наименьших квадратов для обработки результатов наблюдений, содержащих случайные ошибки.
• Статистика и демография: анализ данных о населении, рождаемости, смертности, а также актуарные расчеты в страховом деле.
• Физика: развитие статистической механики и кинетической теории газов, где поведение макросистем описывается через статистические закономерности движения отдельных частиц.

Ответ: В XIX веке теория вероятностей стала математическим инструментом для решения практических задач в науке (астрономия, физика) и экономике (страхование, статистика), перейдя от качественного описания к количественному анализу.

Современное применение теории вероятностей

В настоящее время, как сказано в тексте, теория вероятностей является фундаментальной дисциплиной для анализа самых разнообразных процессов. Она изучает «количественные закономерности, которым подчиняются однородные массовые события». Это означает, что даже если исход одного отдельного события непредсказуем (например, результат одного броска монеты), то при большом количестве повторений (массовом явлении) в их совокупности проявляются строгие закономерности (например, частота выпадения «орла» будет стремиться к 0.5). Эта идея лежит в основе Закона больших чисел.Современные области применения включают:

• Экономика и финансы: оценка рисков, моделирование фондовых рынков, прогнозирование цен.
• Инженерия и технологии: теория надежности (расчет вероятности отказа оборудования), теория массового обслуживания (оптимизация работы колл-центров, сетей связи), обработка сигналов и изображений.
• Информатика и ИИ: машинное обучение (вероятностные модели, байесовские сети), криптография, анализ данных.
• Биология и медицина: генетика (вероятность наследования признаков), эпидемиология (моделирование распространения болезней), клинические испытания лекарств.
• Квантовая физика: состояние частицы описывается волновой функцией, квадрат модуля которой представляет собой плотность вероятности ее обнаружения в данной точке.

Ответ: Сегодня теория вероятностей — это универсальный язык для описания неопределенности и ключевой инструмент для анализа, моделирования и прогнозирования в большинстве областей науки, техники и экономики.