Страница 196, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. Приведите примеры случайных событий.

2. Являются ли события “Выпал герб при бросании монеты” и “Выпала решка при бросании монеты” равновозможными?

3. Почему событие “При бросании игральной кости выпало четное число очков” не является элементарным?

4. Назовите событие, которое противоположно событию “При бросании игральной кости выпало четное число очков”.

5. В каких случаях можно найти вероятность события без проведения испытаний?

6. Какие значения принимает вероятность события?

1. Случайное событие — это результат испытания, который может произойти или не произойти, и его исход заранее непредсказуем. Примерами случайных событий могут служить: выпадение “орла” при подбрасывании монеты, выпадение определённого числа очков на игральной кости, выигрыш в лотерею, дождливая погода завтра. Ответ: Выпадение “орла” при подбрасывании монеты; выигрыш в лотерею.

2. Да, эти события являются равновозможными. При бросании идеальной (симметричной и однородной) монеты существует всего два возможных исхода: выпадение герба и выпадение решки. Поскольку нет никаких оснований считать, что одна сторона монеты будет выпадать чаще другой, шансы на наступление каждого из этих событий считаются одинаковыми. Вероятность каждого из них равна $1/2$. Ответ: Да, являются.

3. Элементарным событием (или исходом) называется простейший, неделимый далее результат испытания. При бросании игральной кости элементарными событиями являются выпадение 1, 2, 3, 4, 5 или 6 очков. Событие “выпало четное число очков” не является элементарным, так как оно составное и включает в себя три элементарных исхода: выпадение 2, выпадение 4 и выпадение 6. Такие события, которые можно разложить на несколько элементарных, называются составными (или сложными). Ответ: Потому что это событие состоит из нескольких элементарных исходов (выпадение 2, 4 или 6).

4. Противоположным событию A называется событие, которое происходит тогда и только тогда, когда не происходит событие A. В данном случае событие A — “при бросании игральной кости выпало четное число очков” (соответствует исходам 2, 4, 6). Все остальные возможные исходы при бросании кости (1, 3, 5) образуют противоположное событие. Это событие можно описать как “при бросании игральной кости выпало нечетное число очков”. Ответ: “При бросании игральной кости выпало нечетное число очков”.

5. Вероятность события можно найти без проведения испытаний (то есть теоретически), когда используется так называемое классическое определение вероятности. Это возможно в тех случаях, когда все элементарные исходы испытания известны, их число конечно и все они равновозможны. Например, в задачах с идеальной монетой, симметричной игральной костью или хорошо перемешанной колодой карт. В этом случае вероятность события $A$ вычисляется по формуле $P(A) = m/n$, где $n$ — общее число всех равновозможных элементарных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию $A$. Ответ: В случаях, когда все элементарные исходы испытания равновозможны и их общее число известно.

6. Вероятность любого события $P$ является неотрицательным числом, не превышающим единицу. Она может принимать любые значения в диапазоне от 0 до 1 включительно. Это записывается в виде неравенства: $0 \le P \le 1$. Вероятность, равная 0, соответствует невозможному событию (которое никогда не произойдёт). Вероятность, равная 1, соответствует достоверному событию (которое произойдёт обязательно). Ответ: Вероятность события принимает значения от 0 до 1 включительно.

26.1. При бросании игрального кубика выпадает одна из цифр от 1 до 6.

Найдите вероятность события:

1) выпадает цифра 2;

2) выпадает цифра 1 или 2;

3) выпадает цифра 4 или 6;

4) выпадает нечетная цифра.

1) выпадет цифра 2;При бросании стандартного игрального кубика возможно 6 равновероятных исходов (выпадение чисел от 1 до 6). Таким образом, общее число элементарных исходов $n=6$. Событию "выпадет цифра 2" благоприятствует только один исход. Следовательно, число благоприятных исходов $m=1$. Вероятность события $P$ находится по классической формуле вероятности: $P = \frac{m}{n}$. Подставив значения, получаем: $P = \frac{1}{6}$.Ответ: $\frac{1}{6}$.

2) выпадет цифра 1 или 2;Общее число возможных исходов при броске кубика равно 6, то есть $n=6$. Событию "выпадет цифра 1 или 2" благоприятствуют два исхода: выпадение 1 и выпадение 2. Таким образом, число благоприятных исходов $m=2$. Вероятность данного события вычисляется как отношение числа благоприятных исходов к общему числу исходов: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6}$. Сократив дробь на 2, получаем $P = \frac{1}{3}$.Ответ: $\frac{1}{3}$.

3) выпадет цифра 4 или 6;Общее число всех возможных исходов при броске кубика составляет 6 ($n=6$). Событию "выпадет цифра 4 или 6" благоприятствуют два исхода: выпадение 4 и выпадение 6. Следовательно, число благоприятных исходов $m=2$. Вероятность этого события равна: $P = \frac{m}{n} = \frac{2}{6}$. После сокращения дроби на 2, получаем итоговый результат: $P = \frac{1}{3}$.Ответ: $\frac{1}{3}$.

4) выпадет нечетная цифра.Общее число элементарных исходов при бросании кубика равно 6 ($n=6$). Нечетными цифрами на гранях кубика являются 1, 3 и 5. Таким образом, событию "выпадет нечетная цифра" благоприятствуют три исхода. Число благоприятных исходов $m=3$. Вероятность выпадения нечетной цифры находим по формуле: $P = \frac{m}{n} = \frac{3}{6}$. Сократив полученную дробь на 3, имеем: $P = \frac{1}{2}$.Ответ: $\frac{1}{2}$.

26.2. а) В урне 2 белых и 5 красных шаров. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется:

1) белый; 2) красный; 3) зеленый.

б) В урне 3 красных и 9 синих шаров. Найдите вероятность того, что наудачу извлеченный из урны шар окажется:

1) не белый; 2) красный; 3) синий.

а) 1) белый; Вероятность случайного события вычисляется по формуле $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию. В урне находится 2 белых и 5 красных шаров, значит, общее число шаров $n = 2 + 5 = 7$. Число благоприятных исходов для извлечения белого шара равно количеству белых шаров, то есть $m = 2$. Таким образом, вероятность извлечь белый шар составляет $P(\text{белый}) = \frac{2}{7}$. Ответ: $\frac{2}{7}$.

а) 2) красный; Общее число шаров в урне по-прежнему $n = 7$. Число благоприятных исходов для извлечения красного шара равно количеству красных шаров, то есть $m = 5$. Следовательно, вероятность извлечь красный шар равна $P(\text{красный}) = \frac{5}{7}$. Ответ: $\frac{5}{7}$.

а) 3) зеленый. Общее число шаров в урне $n = 7$. Поскольку в урне нет зеленых шаров, число благоприятных исходов для извлечения зеленого шара равно $m = 0$. Вероятность извлечь зеленый шар составляет $P(\text{зеленый}) = \frac{0}{7} = 0$. Такое событие является невозможным. Ответ: $0$.

б) 1) не белый; В урне находится 3 красных и 9 синих шаров. Общее число шаров $n = 3 + 9 = 12$. Событие "извлеченный шар не белый" означает, что шар может быть либо красным, либо синим. В данной урне все шары удовлетворяют этому условию. Таким образом, число благоприятных исходов $m = 3 + 9 = 12$. Вероятность извлечь не белый шар равна $P(\text{не белый}) = \frac{12}{12} = 1$. Такое событие является достоверным. Ответ: $1$.

б) 2) красный; Общее число шаров в урне $n = 12$. Число красных шаров, то есть число благоприятных исходов, равно $m = 3$. Вероятность извлечь красный шар равна $P(\text{красный}) = \frac{3}{12} = \frac{1}{4}$. Ответ: $\frac{1}{4}$.

б) 3) синий. Общее число шаров в урне $n = 12$. Число синих шаров, то есть число благоприятных исходов, равно $m = 9$. Вероятность извлечь синий шар равна $P(\text{синий}) = \frac{9}{12} = \frac{3}{4}$. Ответ: $\frac{3}{4}$.

26.3. Испытание состоит в подбрасывании игральной кости. Рассмотрим события A, B и C. Событие A — выпавшее на верхней грани число очков делится на 12, B — выпавшее на верхней грани число очков равно 2, C — выпавшее на верхней грани число очков делится на 2. Объясните, какое утверждение верное, а какое нет:

1) $P(A) = 1$;

2) $P(A) = 0$;

3) $P(C) = 0,5$;

4) $P(\bar{B}) = \frac{5}{6}$;

5) $P(B) = \frac{1}{6}$.

Для решения задачи сначала определим пространство элементарных исходов и характеристики рассматриваемых событий. Испытание — подбрасывание игральной кости. Множество всех возможных исходов (общее число исходов $n$) — это числа на гранях кости: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Таким образом, $n=6$. События:

• A — выпавшее число очков делится на 12.
• B — выпавшее число очков равно 2.
• C — выпавшее число очков делится на 2.

1) P(A) = 1; Событие A заключается в том, что выпавшее на игральной кости число очков делится на 12. При броске стандартной игральной кости могут выпасть числа от 1 до 6. Ни одно из этих чисел (1, 2, 3, 4, 5, 6) не делится на 12 без остатка. Следовательно, событие A является невозможным. Число благоприятствующих исходов для события A равно $m=0$. Вероятность невозможного события равна 0, а не 1. Вероятность $P(A)$ рассчитывается как отношение числа благоприятствующих исходов к общему числу исходов: $P(A) = \frac{0}{6} = 0$. Таким образом, утверждение неверное.

Ответ: Утверждение неверное.

2) P(A) = 0; Как было показано в предыдущем пункте, событие A (выпавшее число делится на 12) является невозможным при броске стандартной шестигранной кости. Множество исходов, благоприятствующих этому событию, пустое, то есть число благоприятствующих исходов $m=0$. Общее число исходов $n=6$. Следовательно, вероятность события A равна $P(A) = \frac{m}{n} = \frac{0}{6} = 0$. Утверждение верное.

Ответ: Утверждение верное.

3) P(C) = 0,5; Событие C заключается в том, что выпавшее число очков делится на 2, то есть является четным. При броске кости возможны 6 равновероятных исходов: {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Из них четными являются три числа: {2, 4, 6}. Таким образом, число благоприятствующих исходов для события C равно $m=3$. Вероятность события C равна $P(C) = \frac{m}{n} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5$. Утверждение верное.

Ответ: Утверждение верное.

4) P($\bar{B}$) = $\frac{5}{6}$; Событие B заключается в том, что выпало число 2. Событие $\bar{B}$ (читается как "не B") является противоположным событию B, то есть оно означает, что выпало любое число, кроме 2. Из 6 возможных исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}, благоприятствующими для события $\bar{B}$ являются 5 исходов: {1, 3, 4, 5, 6}. Число благоприятствующих исходов $m=5$. Вероятность этого события равна $P(\bar{B}) = \frac{5}{6}$. Альтернативно, можно найти вероятность события B, $P(B) = \frac{1}{6}$, и затем использовать формулу для вероятности противоположного события: $P(\bar{B}) = 1 - P(B) = 1 - \frac{1}{6} = \frac{5}{6}$. Утверждение верное.

Ответ: Утверждение верное.

5) P(B) = $\frac{1}{6}$. Событие B заключается в том, что выпавшее на верхней грани число очков равно 2. При броске кости есть 6 равновероятных исходов. Из них только один исход (выпадение числа 2) является благоприятствующим для события B. Таким образом, число благоприятствующих исходов $m=1$. Следовательно, вероятность события B равна $P(B) = \frac{m}{n} = \frac{1}{6}$. Утверждение верное.

Ответ: Утверждение верное.

26.4. 1) В классе 25 учащихся, из которых 5 учатся на отлично, 12 — на хорошо, 6 — удовлетворительно и 2 — слабо. Какова вероятность того, что наугад вызванный к доске учащийся отличник или ударник?

2) Среди 25 экзаменационных билетов 5 “легких”. Двое учащихся по очереди взяли по одному билету. Какова вероятность того, что первый учащийся взял “легкий” билет?

1) Для нахождения вероятности воспользуемся классической формулой вероятности: $P = \frac{m}{n}$, где $n$ — общее число всех равновозможных исходов, а $m$ — число исходов, благоприятствующих событию.

В данном случае, общее число исходов $n$ равно общему количеству учащихся в классе, то есть $n = 25$.

Событие, вероятность которого нужно найти, — это то, что к доске вызовут отличника или ударника. Учащиеся, которые учатся на "отлично", и учащиеся, которые учатся на "хорошо" (ударники), составляют группу благоприятствующих исходов.

Число отличников равно 5.

Число ударников (хорошистов) равно 12.

Число благоприятствующих исходов $m$ равно сумме числа отличников и ударников:

$m = 5 + 12 = 17$.

Теперь подставим значения $m$ и $n$ в формулу вероятности:

$P = \frac{17}{25}$.

Для удобства можно перевести эту дробь в десятичный вид:

$P = \frac{17}{25} = \frac{17 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{68}{100} = 0,68$.

Ответ: $0,68$.

2) Для решения этой задачи также применим классическое определение вероятности: $P = \frac{m}{n}$.

Нас интересует вероятность события, что первый учащийся взял "легкий" билет. Действия второго учащегося не влияют на вероятность выбора билета первым, так как его выбор происходит до выбора второго.

Общее число всех возможных исходов $n$ для первого учащегося равно общему количеству экзаменационных билетов, то есть $n = 25$.

Число благоприятствующих исходов $m$ равно количеству "легких" билетов, то есть $m = 5$.

Найдем вероятность того, что первый учащийся вытянет "легкий" билет:

$P = \frac{m}{n} = \frac{5}{25}$.

Сократим полученную дробь:

$P = \frac{5}{25} = \frac{1}{5}$.

Переведем в десятичную дробь:

$P = 0,2$.

Ответ: $0,2$.