Страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

1. В каких преобразованиях можно использовать бином Ньютона?

2. Что означает слово "бином", символ $\Sigma$?

3. Чем являются биномиальные коэффициенты?

1. В каких преобразованиях можно использовать бином Ньютона?

Бином Ньютона — это формула, предназначенная для разложения на отдельные слагаемые целой неотрицательной степени двучлена (бинома). Формула имеет вид: $(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$. Она находит широкое применение в различных разделах математики и смежных наук.

В алгебре: Основное и самое очевидное применение — это упрощение и раскрытие скобок в выражениях вида $(a+b)^n$. Это позволяет представить степень двучлена в виде многочлена, что бывает необходимо при решении уравнений, неравенств и упрощении выражений.

В комбинаторике: Формула бинома Ньютона тесно связана с комбинаторикой, так как биномиальные коэффициенты $C_n^k$ представляют собой число сочетаний. Формулу используют для доказательства множества комбинаторных тождеств и для решения задач на подсчет количества вариантов.

В теории вероятностей: Бином Ньютона лежит в основе биномиального распределения — одной из ключевых моделей в теории вероятностей. Оно описывает вероятность получения ровно $k$ успехов в серии из $n$ независимых испытаний. Вероятность этого события равна одному из слагаемых в разложении бинома: $P(X=k) = C_n^k p^k (1-p)^{n-k}$, где $p$ — вероятность успеха в одном испытании.

В математическом анализе: Обобщенная формула бинома Ньютона (для произвольного действительного показателя степени) используется для разложения функций в степенные ряды (ряды Тейлора). Это позволяет, например, вычислять приближенные значения функций. Широко известный пример — приближение $(1+x)^\alpha \approx 1+\alpha x$ для малых $x$.

В теории чисел: Бином Ньютона является важным инструментом при доказательстве различных теорем о делимости, сравнениях по модулю. Например, он используется в одном из доказательств Малой теоремы Ферма.

Ответ: Бином Ньютона используется для алгебраического разложения степеней двучленов, в комбинаторике для решения задач и доказательства тождеств, в теории вероятностей для вывода формулы биномиального распределения, в математическом анализе для разложения функций в ряды и получения приближенных формул, а также в теории чисел для доказательства теорем.

2. Что означает слово "бином", символ Σ?

Слово "бином" (или "двучлен") происходит от латинского слова binomium, где приставка "bi-" означает "два", а корень "nomen" — "имя" или "член". В алгебре бином — это многочлен, состоящий из суммы или разности двух одночленов (членов). Например, выражения $x+y$, $3a-b^2$, и $5x^2y+7$ являются биномами. Соответственно, "бином Ньютона" — это формула, описывающая возведение в степень именно такого выражения, состоящего из двух слагаемых.

Символ Σ (сигма) — это заглавная буква греческого алфавита, которая в математике используется для обозначения операции суммирования. Эта запись является краткой формой для длинной суммы слагаемых, которые имеют общую структуру. Выражение $\sum_{k=m}^{n} f(k)$ означает сумму значений функции $f(k)$ для всех целых чисел $k$ от нижнего предела $m$ до верхнего предела $n$ включительно:$\sum_{k=m}^{n} f(k) = f(m) + f(m+1) + \dots + f(n)$.В контексте бинома Ньютона, запись $\sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$ означает сумму всех слагаемых, получаемых при изменении индекса $k$ от $0$ до $n$.

Ответ: Слово "бином" означает алгебраическое выражение, состоящее из двух слагаемых (двучлен). Символ Σ (сигма) — это математический знак, который обозначает суммирование ряда слагаемых.

3. Чем являются биномиальные коэффициенты?

Биномиальные коэффициенты — это числовые множители, стоящие перед степенными выражениями в разложении бинома Ньютона $(a+b)^n$.

Они обозначаются символами $C_n^k$ или $\binom{n}{k}$ и для неотрицательных целых $n$ и $k$ ($0 \le k \le n$) вычисляются по формуле:$C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$Здесь $n!$ (n-факториал) — это произведение всех натуральных чисел от 1 до $n$. Например, $4! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4 = 24$.

Биномиальные коэффициенты имеют важный комбинаторный смысл: $C_n^k$ — это число сочетаний из $n$ по $k$. Оно показывает, сколькими различными способами можно выбрать $k$ элементов из множества, содержащего $n$ различных элементов, если порядок выбора не имеет значения.

Также биномиальные коэффициенты для заданного $n$ образуют $(n+1)$-ю строку в треугольнике Паскаля. Каждое число в этом треугольнике (кроме крайних единиц) равно сумме двух чисел, стоящих над ним. Например, для $n=3$ коэффициенты равны $C_3^0=1, C_3^1=3, C_3^2=3, C_3^3=1$, и разложение имеет вид: $(a+b)^3 = 1a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + 1b^3$.

Ответ: Биномиальные коэффициенты — это коэффициенты в формуле разложения бинома Ньютона, которые равны числу сочетаний из $n$ по $k$ и вычисляются по формуле $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

25.1. Представьте в виде многочлена степень:

1) $(x+a)^5$; 2) $(3x+2a)^6$; 3) $(3x-a)^5$.

Для решения данной задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k = C_n^0 a^n + C_n^1 a^{n-1}b + C_n^2 a^{n-2}b^2 + \dots + C_n^n b^n$

где $C_n^k = \binom{n}{k} = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальные коэффициенты. Эти коэффициенты также можно найти с помощью треугольника Паскаля.

1) $(x+a)^5$

Применим формулу бинома Ньютона для $n=5$. Биномиальные коэффициенты для $n=5$ равны $C_5^0=1$, $C_5^1=5$, $C_5^2=10$, $C_5^3=10$, $C_5^4=5$, $C_5^5=1$.

$(x+a)^5 = C_5^0 x^5 a^0 + C_5^1 x^4 a^1 + C_5^2 x^3 a^2 + C_5^3 x^2 a^3 + C_5^4 x^1 a^4 + C_5^5 x^0 a^5$

Подставляем значения коэффициентов:

$1 \cdot x^5 \cdot 1 + 5 \cdot x^4 \cdot a + 10 \cdot x^3 \cdot a^2 + 10 \cdot x^2 \cdot a^3 + 5 \cdot x \cdot a^4 + 1 \cdot 1 \cdot a^5$

Получаем многочлен:

$x^5 + 5ax^4 + 10a^2x^3 + 10a^3x^2 + 5a^4x + a^5$

Ответ: $x^5 + 5ax^4 + 10a^2x^3 + 10a^3x^2 + 5a^4x + a^5$

2) $(3x+2a)^6$

Применим формулу бинома Ньютона для $n=6$. В данном случае первый член бинома равен $3x$, а второй $2a$. Биномиальные коэффициенты для $n=6$ равны $C_6^0=1$, $C_6^1=6$, $C_6^2=15$, $C_6^3=20$, $C_6^4=15$, $C_6^5=6$, $C_6^6=1$.

$(3x+2a)^6 = C_6^0(3x)^6(2a)^0 + C_6^1(3x)^5(2a)^1 + C_6^2(3x)^4(2a)^2 + C_6^3(3x)^3(2a)^3 + C_6^4(3x)^2(2a)^4 + C_6^5(3x)^1(2a)^5 + C_6^6(3x)^0(2a)^6$

Вычислим каждый член разложения:

$C_6^0(3x)^6(2a)^0 = 1 \cdot 3^6 x^6 \cdot 1 = 729x^6$

$C_6^1(3x)^5(2a)^1 = 6 \cdot 3^5 x^5 \cdot 2a = 6 \cdot 243x^5 \cdot 2a = 2916ax^5$

$C_6^2(3x)^4(2a)^2 = 15 \cdot 3^4 x^4 \cdot 2^2 a^2 = 15 \cdot 81x^4 \cdot 4a^2 = 4860a^2x^4$

$C_6^3(3x)^3(2a)^3 = 20 \cdot 3^3 x^3 \cdot 2^3 a^3 = 20 \cdot 27x^3 \cdot 8a^3 = 4320a^3x^3$

$C_6^4(3x)^2(2a)^4 = 15 \cdot 3^2 x^2 \cdot 2^4 a^4 = 15 \cdot 9x^2 \cdot 16a^4 = 2160a^4x^2$

$C_6^5(3x)^1(2a)^5 = 6 \cdot 3x \cdot 2^5 a^5 = 18x \cdot 32a^5 = 576a^5x$

$C_6^6(3x)^0(2a)^6 = 1 \cdot 1 \cdot 2^6 a^6 = 64a^6$

Складываем все члены:

$729x^6 + 2916ax^5 + 4860a^2x^4 + 4320a^3x^3 + 2160a^4x^2 + 576a^5x + 64a^6$

Ответ: $729x^6 + 2916ax^5 + 4860a^2x^4 + 4320a^3x^3 + 2160a^4x^2 + 576a^5x + 64a^6$

3) $(3x-a)^5$

Это выражение можно представить как $(3x+(-a))^5$. Применим формулу бинома Ньютона для $n=5$. Биномиальные коэффициенты, как и в первом пункте, равны 1, 5, 10, 10, 5, 1. Здесь первый член бинома равен $3x$, а второй $-a$.

$(3x-a)^5 = C_5^0(3x)^5(-a)^0 + C_5^1(3x)^4(-a)^1 + C_5^2(3x)^3(-a)^2 + C_5^3(3x)^2(-a)^3 + C_5^4(3x)^1(-a)^4 + C_5^5(3x)^0(-a)^5$

Обратим внимание, что знаки членов будут чередоваться, так как $(-a)$ возводится в нечетные и четные степени.

Вычислим каждый член разложения:

$C_5^0(3x)^5(-a)^0 = 1 \cdot 3^5 x^5 \cdot 1 = 243x^5$

$C_5^1(3x)^4(-a)^1 = 5 \cdot 3^4 x^4 \cdot (-a) = 5 \cdot 81x^4 \cdot (-a) = -405ax^4$

$C_5^2(3x)^3(-a)^2 = 10 \cdot 3^3 x^3 \cdot a^2 = 10 \cdot 27x^3 \cdot a^2 = 270a^2x^3$

$C_5^3(3x)^2(-a)^3 = 10 \cdot 3^2 x^2 \cdot (-a^3) = 10 \cdot 9x^2 \cdot (-a^3) = -90a^3x^2$

$C_5^4(3x)^1(-a)^4 = 5 \cdot 3x \cdot a^4 = 15xa^4 = 15a^4x$

$C_5^5(3x)^0(-a)^5 = 1 \cdot 1 \cdot (-a^5) = -a^5$

Складываем все члены:

$243x^5 - 405ax^4 + 270a^2x^3 - 90a^3x^2 + 15a^4x - a^5$

Ответ: $243x^5 - 405ax^4 + 270a^2x^3 - 90a^3x^2 + 15a^4x - a^5$

25.2. Найдите коэффициент при $x^n$ в разложении степени с помощью бинома Ньютона:

1) $(x+2)^{10}, n=3$;

2) $(1-2x)^7, n=4$;

3) $(\sqrt{x}-\frac{2}{x})^8, n=-5$.

1) Для разложения $(x+2)^{10}$ по формуле бинома Ньютона $(a+b)^p = \sum_{k=0}^{p} C_p^k a^{p-k} b^k$, где $a=x$, $b=2$ и $p=10$, общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} 2^k$.

Мы ищем коэффициент при $x^n$, где $n=3$. Для этого необходимо, чтобы степень переменной $x$ была равна 3:

$10-k=3$, откуда $k=7$.

Подставим найденное значение $k=7$ в формулу для общего члена, чтобы найти искомый коэффициент. Коэффициент при $x^3$ равен $C_{10}^7 \cdot 2^7$.

Вычислим биномиальный коэффициент:

$C_{10}^7 = \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Вычислим степень двойки:

$2^7 = 128$.

Теперь перемножим полученные значения, чтобы найти искомый коэффициент:

$120 \cdot 128 = 15360$.

Ответ: $15360$.

2) Для разложения $(1-2x)^7$ по формуле бинома Ньютона, где $a=1$, $b=-2x$ и $p=7$, общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_7^k (1)^{7-k} (-2x)^k = C_7^k (-2)^k x^k$.

Мы ищем коэффициент при $x^n$, где $n=4$. Для этого необходимо, чтобы степень переменной $x$ была равна 4:

$k=4$.

Подставим $k=4$ в формулу для общего члена. Коэффициент при $x^4$ равен $C_7^4 \cdot (-2)^4$.

Вычислим биномиальный коэффициент:

$C_7^4 = \binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Вычислим степень:

$(-2)^4 = 16$.

Теперь перемножим полученные значения:

$35 \cdot 16 = 560$.

Ответ: $560$.

3) Для разложения $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^8$ по формуле бинома Ньютона, где $a=\sqrt{x}=x^{1/2}$, $b=-\frac{2}{x}=-2x^{-1}$ и $p=8$, общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_8^k (x^{1/2})^{8-k} (-2x^{-1})^k = C_8^k x^{\frac{8-k}{2}} (-2)^k x^{-k} = C_8^k (-2)^k x^{\frac{8-k}{2}-k}$.

Мы ищем коэффициент при $x^n$, где $n=-5$. Для этого необходимо, чтобы степень переменной $x$ была равна -5:

$\frac{8-k}{2} - k = -5$.

Решим это уравнение относительно $k$, умножив обе части на 2:

$8-k-2k = -10$

$8-3k = -10$

$3k = 18$

$k=6$.

Подставим $k=6$ в формулу для общего члена. Коэффициент при $x^{-5}$ равен $C_8^6 \cdot (-2)^6$.

Вычислим биномиальный коэффициент:

$C_8^6 = \binom{8}{6} = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.

Вычислим степень:

$(-2)^6 = 64$.

Теперь перемножим полученные значения:

$28 \cdot 64 = 1792$.

Ответ: $1792$.

25.3. Найдите значение суммы биномиальных коэффициентов разложения $(a+b)^{11}$.

25.3. Для нахождения суммы биномиальных коэффициентов разложения $(a + b)^{11}$ воспользуемся общей формулой бинома Ньютона:

$(a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_{n}^{k} a^{n-k} b^k$

В этой формуле $C_{n}^{k}$ представляют собой биномиальные коэффициенты.

Для нашего случая степень бинома $n = 11$. Разложение имеет вид:

$(a + b)^{11} = C_{11}^{0} a^{11}b^0 + C_{11}^{1} a^{10}b^1 + C_{11}^{2} a^9b^2 + \dots + C_{11}^{10} a^1b^{10} + C_{11}^{11} a^0b^{11}$

Нам необходимо найти сумму всех биномиальных коэффициентов этого разложения, то есть величину:

$S = C_{11}^{0} + C_{11}^{1} + C_{11}^{2} + \dots + C_{11}^{10} + C_{11}^{11}$

Для того чтобы найти эту сумму, мы можем подставить в формулу бинома Ньютона конкретные значения для $a$ и $b$. Если мы выберем $a=1$ и $b=1$, то все члены $a^{n-k}b^k$ станут равны 1, и в правой части останется только сумма коэффициентов.

Подставим $a=1$ и $b=1$ в обе части равенства:

Левая часть: $(1 + 1)^{11} = 2^{11}$

Правая часть: $C_{11}^{0}(1)^{11}(1)^0 + C_{11}^{1}(1)^{10}(1)^1 + \dots + C_{11}^{11}(1)^0(1)^{11} = C_{11}^{0} + C_{11}^{1} + \dots + C_{11}^{11}$

Приравнивая левую и правую части, получаем, что искомая сумма $S$ равна:

$S = 2^{11}$

Осталось вычислить это значение:

$2^{11} = 2^{10} \cdot 2 = 1024 \cdot 2 = 2048$

Ответ: 2048

25.4. Докажите тождество:

1) $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0;$

2) $\sum_{k=0}^{n} kC_n^k = n \cdot 2^{n-1};$

3) $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} kC_n^k = 0.$

1) Для доказательства тождества $\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0$ воспользуемся формулой бинома Ньютона:

$(a+b)^n = \sum_{k=0}^{n} C_n^k a^{n-k} b^k$.

Подставим в эту формулу значения $a=1$ и $b=-1$.

Левая часть формулы примет вид:

$(1 + (-1))^n = (1-1)^n = 0^n$.

Для любого натурального числа $n \ge 1$, выражение $0^n$ равно 0.

Правая часть формулы примет вид:

$\sum_{k=0}^{n} C_n^k (1)^{n-k} (-1)^k = \sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k$.

Приравнивая левую и правую части, получаем искомое тождество для $n \ge 1$:

$\sum_{k=0}^{n} (-1)^k C_n^k = 0$.

Заметим, что для $n=0$ сумма равна $\sum_{k=0}^{0} (-1)^k C_0^k = (-1)^0 C_0^0 = 1$. Таким образом, тождество строго справедливо для $n \ge 1$.

Ответ: Тождество доказано с использованием бинома Ньютона при $a=1, b=-1$ для $n \ge 1$.

2) Для доказательства тождества $\sum_{k=0}^{n} k C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$ рассмотрим его левую часть. При $k=0$ слагаемое равно $0 \cdot C_n^0 = 0$, поэтому суммирование можно начинать с $k=1$:

$\sum_{k=0}^{n} k C_n^k = \sum_{k=1}^{n} k C_n^k$.

Воспользуемся известным комбинаторным тождеством $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$. Докажем его, используя определение биномиальных коэффициентов $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$:

$k C_n^k = k \frac{n!}{k!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$.

$n C_{n-1}^{k-1} = n \frac{(n-1)!}{(k-1)!((n-1)-(k-1))!} = n \frac{(n-1)!}{(k-1)!(n-k)!} = \frac{n!}{(k-1)!(n-k)!}$.

Тождество $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ верно для $1 \le k \le n$.

Применим это тождество к нашей сумме:

$\sum_{k=1}^{n} k C_n^k = \sum_{k=1}^{n} n C_{n-1}^{k-1}$.

Вынесем множитель $n$ за знак суммы, так как он не зависит от индекса суммирования $k$:

$n \sum_{k=1}^{n} C_{n-1}^{k-1}$.

Произведем замену индекса суммирования: пусть $j = k-1$. Тогда при $k=1$ имеем $j=0$, а при $k=n$ имеем $j=n-1$. Сумма примет вид:

$n \sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j}$.

Сумма $\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j}$ представляет собой сумму всех биномиальных коэффициентов для степени $n-1$. Из бинома Ньютона известно, что эта сумма равна $2^{n-1}$:

$\sum_{j=0}^{n-1} C_{n-1}^{j} = C_{n-1}^0 + C_{n-1}^1 + \dots + C_{n-1}^{n-1} = (1+1)^{n-1} = 2^{n-1}$.

Подставляя это значение обратно, получаем:

$n \cdot 2^{n-1}$.

Таким образом, мы доказали, что $\sum_{k=0}^{n} k C_n^k = n \cdot 2^{n-1}$.

Ответ: Тождество доказано с использованием свойства $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ и формулы суммы биномиальных коэффициентов.

3) Для доказательства тождества $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k C_n^k = 0$ мы снова воспользуемся свойством $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ для $k \ge 1$.

Преобразуем левую часть равенства:

$\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k C_n^k = \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} n C_{n-1}^{k-1}$.

Вынесем множитель $n$ за знак суммы:

$n \sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} C_{n-1}^{k-1}$.

Произведем замену индекса суммирования: пусть $j = k-1$. Тогда $(-1)^{k-1} = (-1)^j$. При $k=1$ имеем $j=0$, а при $k=n$ имеем $j=n-1$. Сумма примет вид:

$n \sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} C_{n-1}^{j}$.

Рассмотрим сумму $\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} C_{n-1}^{j}$.

Как было показано в пункте 1), знакопеременная сумма биномиальных коэффициентов $\sum_{j=0}^{m} (-1)^j C_m^j = 0$ для любого натурального $m \ge 1$.

В нашем случае $m=n-1$. Если $n \ge 2$, то $m = n-1 \ge 1$, и следовательно, сумма равна 0:

$\sum_{j=0}^{n-1} (-1)^{j} C_{n-1}^{j} = 0$.

Подставляя это значение, получаем:

$n \cdot 0 = 0$.

Таким образом, тождество $\sum_{k=1}^{n} (-1)^{k-1} k C_n^k = 0$ доказано для $n \ge 2$. Заметим, что для $n=1$ левая часть равна $(-1)^{1-1} \cdot 1 \cdot C_1^1 = 1$, а не 0.

Ответ: Тождество доказано для $n \ge 2$ с использованием свойства $k C_n^k = n C_{n-1}^{k-1}$ и формулы для знакопеременной суммы биномиальных коэффициентов.

25.5. Найдите $n$ в разложении степени бинома $\left(3+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^{n}$, если отношение четвертого слагаемого разложения к третьему равно $3\sqrt{2}$.

Для решения задачи воспользуемся формулой бинома Ньютона для разложения степени $(a+b)^n$. Общий член разложения (k+1)-й по счету) имеет вид $T_{k+1} = C_n^k a^{n-k} b^k$, где $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ — биномиальный коэффициент.

В данном биноме $\left(3 + \frac{1}{\sqrt{2}}\right)^n$ имеем $a = 3$ и $b = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Третье слагаемое разложения $T_3$ соответствует $k=2$:

$T_3 = T_{2+1} = C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^2 = C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot \frac{1}{2}$.

Четвертое слагаемое разложения $T_4$ соответствует $k=3$:

$T_4 = T_{3+1} = C_n^3 \cdot 3^{n-3} \cdot \left(\frac{1}{\sqrt{2}}\right)^3 = C_n^3 \cdot 3^{n-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}$.

По условию задачи, отношение четвертого слагаемого к третьему равно $3\sqrt{2}$:$\frac{T_4}{T_3} = 3\sqrt{2}$.

Подставим выражения для $T_4$ и $T_3$ в это отношение и упростим его:$\frac{T_4}{T_3} = \frac{C_n^3 \cdot 3^{n-3} \cdot \frac{1}{2\sqrt{2}}}{C_n^2 \cdot 3^{n-2} \cdot \frac{1}{2}} = \frac{C_n^3}{C_n^2} \cdot \frac{3^{n-3}}{3^{n-2}} \cdot \frac{1/(2\sqrt{2})}{1/2}$.

Упростим каждое отношение по отдельности:

Отношение биномиальных коэффициентов: $\frac{C_n^3}{C_n^2} = \frac{\frac{n!}{3!(n-3)!}}{\frac{n!}{2!(n-2)!}} = \frac{n! \cdot 2!(n-2)!}{n! \cdot 3!(n-3)!} = \frac{2!(n-2)(n-3)!}{3 \cdot 2! (n-3)!} = \frac{n-2}{3}$.

Отношение степеней: $\frac{3^{n-3}}{3^{n-2}} = 3^{(n-3)-(n-2)} = 3^{-1} = \frac{1}{3}$.

Отношение оставшихся членов: $\frac{1/(2\sqrt{2})}{1/2} = \frac{1}{2\sqrt{2}} \cdot 2 = \frac{1}{\sqrt{2}}$.

Перемножим полученные части:$\frac{T_4}{T_3} = \frac{n-2}{3} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{n-2}{9\sqrt{2}}$.

Теперь приравняем это выражение к значению из условия задачи:$\frac{n-2}{9\sqrt{2}} = 3\sqrt{2}$.

Решим полученное уравнение относительно $n$:

$n-2 = 3\sqrt{2} \cdot 9\sqrt{2}$

$n-2 = 27 \cdot (\sqrt{2})^2$

$n-2 = 27 \cdot 2$

$n-2 = 54$

$n = 56$.

Ответ: $56$.

25.6. Вычислите приближенное значение выражения:

1) $1,02^{11}$;

2) $1,022^{15}$;

3) $0,98^8$;

4) $0,97^{12}$.

1) Для вычисления приближенного значения выражения используется формула приближенного вычисления, которая является первым приближением бинома Ньютона: $(1+x)^n \approx 1+nx$, справедливая при малых значениях $|x|$.

Представим выражение $1,02^{11}$ в виде $(1+x)^n$:

$1,02^{11} = (1 + 0,02)^{11}$.

Здесь $x = 0,02$ и $n = 11$. Так как $x$ — малое число, можно применить формулу приближения.

Подставляем значения в формулу:

$(1 + 0,02)^{11} \approx 1 + 11 \cdot 0,02 = 1 + 0,22 = 1,22$.

Ответ: $1,22$.

2) Аналогично вычисляем приближенное значение выражения $1,022^{15}$.

Представим его в виде $(1+x)^n$:

$1,022^{15} = (1 + 0,022)^{15}$.

Здесь $x = 0,022$ и $n = 15$.

Применяем формулу $(1+x)^n \approx 1+nx$:

$(1 + 0,022)^{15} \approx 1 + 15 \cdot 0,022 = 1 + 0,33 = 1,33$.

Ответ: $1,33$.

3) Для вычисления приближенного значения выражения $0,98^8$ также используем формулу $(1+x)^n \approx 1+nx$.

Представим выражение в виде $(1+x)^n$:

$0,98^8 = (1 - 0,02)^8$.

Здесь $x = -0,02$ и $n = 8$.

Подставляем значения в формулу:

$(1 - 0,02)^8 \approx 1 + 8 \cdot (-0,02) = 1 - 0,16 = 0,84$.

Ответ: $0,84$.

4) Вычислим приближенное значение выражения $0,97^{12}$.

Представим его в виде $(1+x)^n$:

$0,97^{12} = (1 - 0,03)^{12}$.

Здесь $x = -0,03$ и $n = 12$.

Применяем формулу $(1+x)^n \approx 1+nx$:

$(1 - 0,03)^{12} \approx 1 + 12 \cdot (-0,03) = 1 - 0,36 = 0,64$.

Ответ: $0,64$.