Страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник часть 1, 2 Абылкасымова, Кучер

*24.10. $a$ и $b$ – параллельные прямые, $a \ne b$. На прямой $a$ отмечено 8 точек, а на прямой $b$ отмечено 11 точек. Найдите:

1) число треугольников с вершинами в этих точках;

2) число выпуклых четырехугольников с вершинами в отмеченных точках (три вершины четырехугольника не должны лежать на одной прямой);

3) число не самопересекающихся 16-звенных ломаных с вершинами в отмеченных точках, звенья которых не лежат на прямых $a$ и $b$.

1) число треугольников с вершинами в этих точках

Для построения треугольника необходимо выбрать 3 точки, не лежащие на одной прямой. В нашей задаче это означает, что все три вершины треугольника не могут одновременно находиться на прямой $a$ или на прямой $b$.

Существует два возможных случая для формирования треугольника:

а) Две вершины выбраны на прямой $a$ (из 8 доступных точек), а одна вершина — на прямой $b$ (из 11 точек). Число способов сделать такой выбор равно произведению числа сочетаний:

$C_8^2 \times C_{11}^1 = \frac{8!}{2!(8-2)!} \times \frac{11!}{1!(11-1)!} = \frac{8 \times 7}{2} \times 11 = 28 \times 11 = 308$.

б) Одна вершина выбрана на прямой $a$ (из 8 точек), а две вершины — на прямой $b$ (из 11 точек). Число способов сделать такой выбор:

$C_8^1 \times C_{11}^2 = \frac{8!}{1!(8-1)!} \times \frac{11!}{2!(11-2)!} = 8 \times \frac{11 \times 10}{2} = 8 \times 55 = 440$.

Общее число треугольников является суммой числа способов в обоих случаях:

$308 + 440 = 748$.

Ответ: 748.

2) число выпуклых четырехугольников с вершинами в отмеченных точках (три вершины четырехугольника не должны лежать на одной прямой)

Выпуклый четырехугольник можно образовать, выбрав 4 точки так, чтобы никакие три из них не были коллинеарными. В условиях данной задачи это означает, что для построения четырехугольника необходимо выбрать две вершины на прямой $a$ и две вершины на прямой $b$. Любой такой выбор четырех точек (две на одной параллельной прямой и две на другой) однозначно формирует выпуклый четырехугольник (в данном случае — трапецию).

Число способов выбрать 2 вершины из 8 на прямой $a$ равно числу сочетаний $C_8^2$:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.

Число способов выбрать 2 вершины из 11 на прямой $b$ равно числу сочетаний $C_{11}^2$:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \times 10}{2} = 55$.

Общее число возможных четырехугольников равно произведению этих двух величин:

$C_8^2 \times C_{11}^2 = 28 \times 55 = 1540$.

Ответ: 1540.

3) число несамопересекающихся 16-звенных ломаных с вершинами в отмеченных точках, звенья которых не лежат на прямых а и b

16-звенная ломаная состоит из 17 вершин. Условие, что звенья ломаной не лежат на прямых $a$ и $b$, означает, что любые две последовательные вершины ломаной должны принадлежать разным прямым. Следовательно, вершины ломаной должны чередоваться между прямыми $a$ и $b$.

Пусть на прямой $a$ находится $n_a=8$ точек, а на прямой $b$ — $n_b=11$ точек. Всего для ломаной нужно 17 вершин.

Рассмотрим два варианта чередования:

1. Если ломаная начинается с точки на прямой $a$, то последовательность вершин будет иметь вид $a, b, a, b, \ldots$. Для 17 вершин потребуется 9 точек с прямой $a$ и 8 точек с прямой $b$. Этот случай невозможен, так как на прямой $a$ всего 8 точек.

2. Если ломаная начинается с точки на прямой $b$, то последовательность вершин будет $b, a, b, a, \ldots$. Для 17 вершин потребуется 9 точек с прямой $b$ и 8 точек с прямой $a$. Этот случай возможен. При этом будут использованы все 8 точек с прямой $a$ и 9 из 11 точек с прямой $b$.

Таким образом, сначала необходимо выбрать 9 точек из 11 на прямой $b$. Число способов это сделать:

$C_{11}^9 = C_{11}^{11-9} = C_{11}^2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$.

Чтобы ломаная была несамопересекающейся, ее вершины на каждой из прямых должны обходиться в монотонном порядке (т.е. в порядке их следования на прямой, либо в прямом, либо в обратном направлении).

Для каждого выбранного набора из 9 точек на прямой $b$ и 8 точек на прямой $a$ существует 2 варианта порядка обхода точек на прямой $a$ (условно, "слева направо" и "справа налево") и 2 варианта порядка обхода точек на прямой $b$. Комбинация этих вариантов дает 4 различных способа построить несамопересекающуюся ломаную:

1. Порядок обхода на обеих прямых "слева направо".

2. Порядок на $a$ "слева направо", на $b$ "справа налево".

3. Порядок на $a$ "справа налево", на $b$ "слева направо".

4. Порядок обхода на обеих прямых "справа налево".

Каждая из этих четырех комбинаций создает уникальную (как упорядоченную последовательность вершин) несамопересекающуюся ломаную.

Следовательно, общее число таких ломаных равно произведению числа способов выбора точек на прямой $b$ на количество возможных ломаных для каждого выбора:

$C_{11}^9 \times 4 = 55 \times 4 = 220$.

Ответ: 220.

*24.11. Имеется 6 различных ящиков, 4 неразличимых белых шара и 3 неразличимых черных шара. Сколькими способами можно разложить все шары по ящикам так, чтобы в каждом был хотя бы один шар?

Для решения задачи нам нужно разложить 4 неразличимых белых шара и 3 неразличимых черных шара (всего 7 шаров) по 6 различным ящикам так, чтобы в каждом ящике был хотя бы один шар.

Поскольку у нас 7 шаров и 6 ящиков, и в каждом ящике должен быть хотя бы один шар, то по принципу Дирихле единственно возможный вариант распределения количества шаров по ящикам — это когда в одном ящике лежат ровно два шара, а в остальных пяти ящиках — по одному шару.

Задача сводится к тому, чтобы рассмотреть все возможные составы пары шаров в одном ящике и затем посчитать способы размещения оставшихся шаров.

Рассмотрим три взаимоисключающих случая, в зависимости от того, какие два шара окажутся в одном ящике.

Случай 1: В одном ящике находятся два белых шара.

Сначала выберем один из 6 ящиков, в который мы поместим два белых шара. Это можно сделать $\binom{6}{1}$ способами.После этого у нас останется 5 ящиков, 2 белых шара и 3 черных шара. В каждый из оставшихся 5 ящиков нужно положить по одному шару. Нам нужно выбрать, в какие 2 из 5 оставшихся ящиков мы положим по одному белому шару. Это можно сделать $\binom{5}{2}$ способами. В оставшиеся 3 ящика автоматически помещаются черные шары.Общее число способов для этого случая:$N_1 = \binom{6}{1} \times \binom{5}{2} = 6 \times \frac{5 \cdot 4}{2 \cdot 1} = 6 \times 10 = 60$.

Случай 2: В одном ящике находятся два черных шара.

Сначала выберем один из 6 ящиков для двух черных шаров. Это можно сделать $\binom{6}{1}$ способами.После этого у нас останется 5 ящиков, 4 белых шара и 1 черный шар. В каждый из оставшихся 5 ящиков нужно положить по одному шару. Нам нужно выбрать, в какой 1 из 5 оставшихся ящиков мы положим черный шар. Это можно сделать $\binom{5}{1}$ способами. В оставшиеся 4 ящика автоматически помещаются белые шары.Общее число способов для этого случая:$N_2 = \binom{6}{1} \times \binom{5}{1} = 6 \times 5 = 30$.

Случай 3: В одном ящике находятся один белый и один черный шар.

Сначала выберем один из 6 ящиков для этой пары шаров. Это можно сделать $\binom{6}{1}$ способами.После этого у нас останется 5 ящиков, 3 белых шара и 2 черных шара. В каждый из оставшихся 5 ящиков нужно положить по одному шару. Нам нужно выбрать, в какие 3 из 5 оставшихся ящиков мы положим по одному белому шару. Это можно сделать $\binom{5}{3}$ способами. В оставшиеся 2 ящика автоматически помещаются черные шары.Общее число способов для этого случая:$N_3 = \binom{6}{1} \times \binom{5}{3} = 6 \times \frac{5 \cdot 4 \cdot 3}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 6 \times 10 = 60$.

Поскольку эти три случая не пересекаются, общее число способов равно сумме способов в каждом случае:$N = N_1 + N_2 + N_3 = 60 + 30 + 60 = 150$.

Ответ: 150

24.12. Постройте схематический график функции и по ее графику найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x)=\frac{2x}{x+1}$

2) $f(x)=\frac{3x}{x^2-9}$

3) $f(x)=\frac{x}{25-x^2}$

4) $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$

1) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$

Для построения схематического графика и нахождения промежутков возрастания и убывания функции, проведем ее полное исследование.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$. Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: Поскольку при $x \to -1$ знаменатель стремится к нулю, а числитель к $2(-1) = -2$ (конечному значению, отличному от нуля), прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой.

- Горизонтальная асимптота: Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{1 + 1/x} = \frac{2}{1+0} = 2$. Следовательно, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой.

3. Производная и промежутки монотонности. Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

4. Анализ знака производной.

Числитель производной равен 2 (положительное число). Знаменатель $(x+1)^2$ положителен для любого $x$ из области определения. Таким образом, $f'(x) > 0$ для всех $x \in D(f)$.

Это означает, что функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

5. Схематический график. На основе полученных данных, график функции представляет собой гиперболу. Он имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=2$. График проходит через точку $(0,0)$. Функция возрастает на интервале $(-\infty, -1)$ от $y=2$ до $+\infty$ и на интервале $(-1, \infty)$ от $-\infty$ до $y=2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; \infty)$, промежутков убывания нет.

2) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$

1. Область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 \implies x \neq \pm 3$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; \infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальные асимптоты: $x = -3$ и $x = 3$.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x^2 - 9} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3/x}{1 - 9/x^2} = \frac{0}{1} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота.

3. Производная и промежутки монотонности.

$f'(x) = (\frac{3x}{x^2-9})' = \frac{3(x^2-9) - 3x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{3x^2 - 27 - 6x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{-3x^2 - 27}{(x^2-9)^2} = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.

4. Анализ знака производной.

Выражение $x^2+9$ всегда положительно. Значит, числитель $-3(x^2+9)$ всегда отрицателен. Знаменатель $(x^2-9)^2$ всегда положителен в области определения. Следовательно, $f'(x) < 0$ при всех $x \in D(f)$.

Это означает, что функция строго убывает на каждом из интервалов своей области определения.

5. Схематический график. Функция нечетная ($f(-x) = -f(x)$), график симметричен относительно начала координат. График состоит из трех ветвей, разделенных асимптотами. На всех трех интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; \infty)$ функция убывает.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; \infty)$, промежутков возрастания нет.

3) $f(x) = \frac{x}{25 - x^2}$

1. Область определения. $25 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 25 \implies x \neq \pm 5$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; \infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальные асимптоты: $x = -5$ и $x = 5$.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{25 - x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x}{25/x^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота.

3. Производная и промежутки монотонности.

$f'(x) = (\frac{x}{25-x^2})' = \frac{1(25-x^2) - x(-2x)}{(25-x^2)^2} = \frac{25-x^2 + 2x^2}{(25-x^2)^2} = \frac{x^2 + 25}{(25-x^2)^2}$.

4. Анализ знака производной.

Числитель $x^2+25$ всегда положителен. Знаменатель $(25-x^2)^2$ всегда положителен в области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.

Это означает, что функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

5. Схематический график. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. График состоит из трех ветвей. На всех трех интервалах $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; \infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; \infty)$, промежутков убывания нет.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$

1. Область определения. $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальные асимптоты: $x = -2$ и $x = 2$.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - 9/x^2}{1 - 4/x^2} = 1$. Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота.

3. Производная и промежутки монотонности.

$f'(x) = (\frac{x^2-9}{x^2-4})' = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 18x}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.

4. Анализ знака производной.

Знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $10x$.

- $f'(x) > 0$ при $10x > 0 \implies x > 0$. Функция возрастает на промежутках $(0; 2)$ и $(2; \infty)$.

- $f'(x) < 0$ при $10x < 0 \implies x < 0$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$.

- При $x=0$ производная равна нулю. Это точка экстремума (локального минимума), так как знак производной меняется с "-" на "+". Значение функции в этой точке: $f(0) = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4}$.

5. Схематический график. Функция четная ($f(-x) = f(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. На промежутке $(-2; 2)$ график имеет U-образную форму с точкой минимума $(0; 9/4)$. На промежутках $(-\infty; -2)$ и $(2; \infty)$ график приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ и уходит к бесконечности вблизи вертикальных асимптот.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(0; 2)$ и $(2; \infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$.

24.13. Решите неравенство:

1) $\sin x \ge \frac{1}{2}$;

2) $\sin^2 x \le \frac{1}{4}$;

3) $\cos^2 x \ge \frac{1}{4}$;

4) $\text{tg } x \le 1$.

1) sin x ≥ 1/2

Сначала решим уравнение $sin x = 1/2$. Корни этого уравнения на тригонометрической окружности — это $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \pi - \frac{\pi}{6} = \frac{5\pi}{6}$.

Неравенству $sin x \geq 1/2$ соответствуют точки на единичной окружности, ордината (координата y) которых больше или равна $1/2$. Эти точки лежат на дуге, заключенной между точками $\frac{\pi}{6}$ и $\frac{5\pi}{6}$.

Таким образом, на одном обороте ($[0, 2\pi]$) решение неравенства — это промежуток $[\frac{\pi}{6}, \frac{5\pi}{6}]$.

Учитывая периодичность функции синуса (период равен $2\pi$), общее решение неравенства записывается в виде: $\frac{\pi}{6} + 2\pi n \leq x \leq \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [\frac{\pi}{6} + 2\pi n, \frac{5\pi}{6} + 2\pi n], n \in \mathbb{Z}$.

2) sin² x ≤ 1/4

Данное неравенство равносильно двойному неравенству: $-\sqrt{\frac{1}{4}} \leq \sin x \leq \sqrt{\frac{1}{4}}$, что эквивалентно $-\frac{1}{2} \leq \sin x \leq \frac{1}{2}$.

Рассмотрим это неравенство на единичной окружности. Нам нужны точки, ордината (координата y) которых находится в промежутке от $-1/2$ до $1/2$ включительно.

Найдем граничные точки. Уравнение $\sin x = 1/2$ имеет корни $x = \frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{5\pi}{6}$.

Уравнение $\sin x = -1/2$ имеет корни $x = -\frac{\pi}{6}$ и $x = \frac{7\pi}{6}$.

Таким образом, на окружности есть два промежутка, удовлетворяющих условию: от $-\frac{\pi}{6}$ до $\frac{\pi}{6}$ и от $\frac{5\pi}{6}$ до $\frac{7\pi}{6}$.

Эти два множества решений можно объединить в одну формулу. Возьмем основной интервал $[-\frac{\pi}{6}, \frac{\pi}{6}]$. Добавляя к его границам $\pi n$, мы получаем все решения.

Общее решение: $-\frac{\pi}{6} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{6} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{6} + \pi n, \frac{\pi}{6} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

3) cos² x ≥ 1/4

Используем формулу понижения степени: $\cos^2 x = \frac{1 + \cos(2x)}{2}$.

Подставим в неравенство: $\frac{1 + \cos(2x)}{2} \geq \frac{1}{4}$.

Умножим обе части на 2: $1 + \cos(2x) \geq \frac{1}{2}$.

Вычтем 1 из обеих частей: $\cos(2x) \geq -\frac{1}{2}$.

Сделаем замену переменной $t = 2x$. Решим неравенство $\cos t \geq -1/2$.

На единичной окружности этому неравенству соответствуют точки, абсцисса (координата x) которых больше или равна $-1/2$.

Граничные точки находятся из уравнения $\cos t = -1/2$, что дает $t = \frac{2\pi}{3}$ и $t = -\frac{2\pi}{3}$.

Решение для $t$: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq t \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вернемся к переменной $x$, подставив $t = 2x$: $-\frac{2\pi}{3} + 2\pi n \leq 2x \leq \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$.

Разделим все части неравенства на 2: $-\frac{\pi}{3} + \pi n \leq x \leq \frac{\pi}{3} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in [-\frac{\pi}{3} + \pi n, \frac{\pi}{3} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

4) tg x ≤ 1

Функция тангенса определена для всех $x$, кроме $x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Период тангенса равен $\pi$.

Рассмотрим решение на одном периоде, например, в интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$.

Сначала решим уравнение $\tg x = 1$. В указанном интервале его корень $x = \frac{\pi}{4}$.

Функция $\tg x$ является возрастающей на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$. Следовательно, неравенство $\tg x \leq 1$ будет выполняться для всех $x$ от начала интервала определения до точки, где $\tg x = 1$ (включительно).

Таким образом, на интервале $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ решением является промежуток $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{4}]$. Левая граница не включается, так как в этой точке тангенс не определен.

Учитывая периодичность функции тангенса, общее решение записывается добавлением $\pi n$ к границам найденного промежутка:

$-\frac{\pi}{2} + \pi n < x \leq \frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x \in (-\frac{\pi}{2} + \pi n, \frac{\pi}{4} + \pi n], n \in \mathbb{Z}$.

24.14.На рисунке 24.4 изображен график функции $y = f(x)$. Укажите утверждения, неверные для функции $y = f(x)$:

Рис. 24.4

1) $f(2) = f(4) = 0$;

2) функция возрастает на интервале $(0; 9)$;

3) функция постоянна на промежутке $[2; 4]$;

4) $x = 2$ — точка минимума функции;

5) функция возрастает при $x \in (1; 9)$.

1) $f(2) = f(4) = 0$

Для проверки этого утверждения найдем значения функции в точках $x=2$ и $x=4$. По графику видно, что значения $f(2)$ и $f(4)$ соответствуют точкам на горизонтальном участке, который расположен выше оси абсцисс ($Ox$). Это означает, что $f(2) = f(4) > 0$. Следовательно, равенство $f(2) = f(4) = 0$ не выполняется. Ответ: утверждение неверно.

2) функция возрастает на интервале (0; 9)

Функция называется возрастающей на интервале, если для любых $x_1$ и $x_2$ из этого интервала, таких что $x_2 > x_1$, выполняется $f(x_2) > f(x_1)$. На заданном интервале $(0; 9)$ это условие не выполняется. Например, на промежутке $(0; 2]$ функция убывает (график идет вниз), а на промежутке $[2; 4]$ она постоянна (график является горизонтальной линией). Поскольку существуют участки убывания и постоянства, функция не возрастает на всем интервале $(0; 9)$. Ответ: утверждение неверно.

3) функция постоянна на промежутке [2; 4]

На графике видно, что на промежутке от $x=2$ до $x=4$ включительно, график функции является горизонтальным отрезком прямой. Это означает, что для любого значения $x$ из этого промежутка значение функции $f(x)$ остается одним и тем же. Это соответствует определению постоянной функции на промежутке. Ответ: утверждение верно.

4) $x = 2$ — точка минимума функции

Точка $x_0$ называется точкой минимума функции, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство $f(x) \ge f(x_0)$. Для точки $x=2$ в ее окрестности, например на интервале $(1; 3)$, мы видим, что для $x \in (1; 2)$ значения $f(x)$ больше $f(2)$, а для $x \in [2; 3)$ значения $f(x)$ равны $f(2)$. Следовательно, условие $f(x) \ge f(2)$ выполняется, и $x=2$ является точкой минимума. Ответ: утверждение верно.

5) функция возрастает при $x \in (1; 9)$

Рассмотрим поведение функции на интервале $(1; 9)$. На части этого интервала, а именно на $(1; 2]$, функция убывает. На промежутке $[2; 4]$ функция постоянна. Поскольку функция не возрастает на всем указанном интервале, утверждение не является верным. Ответ: утверждение неверно.