Номер 24.10, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*24.10. $a$ и $b$ – параллельные прямые, $a \ne b$. На прямой $a$ отмечено 8 точек, а на прямой $b$ отмечено 11 точек. Найдите:

1) число треугольников с вершинами в этих точках;

2) число выпуклых четырехугольников с вершинами в отмеченных точках (три вершины четырехугольника не должны лежать на одной прямой);

3) число не самопересекающихся 16-звенных ломаных с вершинами в отмеченных точках, звенья которых не лежат на прямых $a$ и $b$.

1) число треугольников с вершинами в этих точках

Для построения треугольника необходимо выбрать 3 точки, не лежащие на одной прямой. В нашей задаче это означает, что все три вершины треугольника не могут одновременно находиться на прямой $a$ или на прямой $b$.

Существует два возможных случая для формирования треугольника:

а) Две вершины выбраны на прямой $a$ (из 8 доступных точек), а одна вершина — на прямой $b$ (из 11 точек). Число способов сделать такой выбор равно произведению числа сочетаний:

$C_8^2 \times C_{11}^1 = \frac{8!}{2!(8-2)!} \times \frac{11!}{1!(11-1)!} = \frac{8 \times 7}{2} \times 11 = 28 \times 11 = 308$.

б) Одна вершина выбрана на прямой $a$ (из 8 точек), а две вершины — на прямой $b$ (из 11 точек). Число способов сделать такой выбор:

$C_8^1 \times C_{11}^2 = \frac{8!}{1!(8-1)!} \times \frac{11!}{2!(11-2)!} = 8 \times \frac{11 \times 10}{2} = 8 \times 55 = 440$.

Общее число треугольников является суммой числа способов в обоих случаях:

$308 + 440 = 748$.

Ответ: 748.

2) число выпуклых четырехугольников с вершинами в отмеченных точках (три вершины четырехугольника не должны лежать на одной прямой)

Выпуклый четырехугольник можно образовать, выбрав 4 точки так, чтобы никакие три из них не были коллинеарными. В условиях данной задачи это означает, что для построения четырехугольника необходимо выбрать две вершины на прямой $a$ и две вершины на прямой $b$. Любой такой выбор четырех точек (две на одной параллельной прямой и две на другой) однозначно формирует выпуклый четырехугольник (в данном случае — трапецию).

Число способов выбрать 2 вершины из 8 на прямой $a$ равно числу сочетаний $C_8^2$:

$C_8^2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2} = 28$.

Число способов выбрать 2 вершины из 11 на прямой $b$ равно числу сочетаний $C_{11}^2$:

$C_{11}^2 = \frac{11!}{2!(11-2)!} = \frac{11 \times 10}{2} = 55$.

Общее число возможных четырехугольников равно произведению этих двух величин:

$C_8^2 \times C_{11}^2 = 28 \times 55 = 1540$.

Ответ: 1540.

3) число несамопересекающихся 16-звенных ломаных с вершинами в отмеченных точках, звенья которых не лежат на прямых а и b

16-звенная ломаная состоит из 17 вершин. Условие, что звенья ломаной не лежат на прямых $a$ и $b$, означает, что любые две последовательные вершины ломаной должны принадлежать разным прямым. Следовательно, вершины ломаной должны чередоваться между прямыми $a$ и $b$.

Пусть на прямой $a$ находится $n_a=8$ точек, а на прямой $b$ — $n_b=11$ точек. Всего для ломаной нужно 17 вершин.

Рассмотрим два варианта чередования:

1. Если ломаная начинается с точки на прямой $a$, то последовательность вершин будет иметь вид $a, b, a, b, \ldots$. Для 17 вершин потребуется 9 точек с прямой $a$ и 8 точек с прямой $b$. Этот случай невозможен, так как на прямой $a$ всего 8 точек.

2. Если ломаная начинается с точки на прямой $b$, то последовательность вершин будет $b, a, b, a, \ldots$. Для 17 вершин потребуется 9 точек с прямой $b$ и 8 точек с прямой $a$. Этот случай возможен. При этом будут использованы все 8 точек с прямой $a$ и 9 из 11 точек с прямой $b$.

Таким образом, сначала необходимо выбрать 9 точек из 11 на прямой $b$. Число способов это сделать:

$C_{11}^9 = C_{11}^{11-9} = C_{11}^2 = \frac{11 \times 10}{2} = 55$.

Чтобы ломаная была несамопересекающейся, ее вершины на каждой из прямых должны обходиться в монотонном порядке (т.е. в порядке их следования на прямой, либо в прямом, либо в обратном направлении).

Для каждого выбранного набора из 9 точек на прямой $b$ и 8 точек на прямой $a$ существует 2 варианта порядка обхода точек на прямой $a$ (условно, "слева направо" и "справа налево") и 2 варианта порядка обхода точек на прямой $b$. Комбинация этих вариантов дает 4 различных способа построить несамопересекающуюся ломаную:

1. Порядок обхода на обеих прямых "слева направо".

2. Порядок на $a$ "слева направо", на $b$ "справа налево".

3. Порядок на $a$ "справа налево", на $b$ "слева направо".

4. Порядок обхода на обеих прямых "справа налево".

Каждая из этих четырех комбинаций создает уникальную (как упорядоченную последовательность вершин) несамопересекающуюся ломаную.

Следовательно, общее число таких ломаных равно произведению числа способов выбора точек на прямой $b$ на количество возможных ломаных для каждого выбора:

$C_{11}^9 \times 4 = 55 \times 4 = 220$.

Ответ: 220.