Номер 24.6, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.6. Решите уравнение:

1) $C_{2n+1}^{n-1} : C_{2n}^{n+1} = \frac{5}{3}$;

2) $A_{2x+3}^{x-1} : A_{2x}^{x+1} = \frac{1}{30}$;

3) $C_n^2 \cdot A_n^2 = 32.$

1) $C_{2n+1}^{n-1} : C_{2n}^{n+1} = \frac{5}{3}$

Запишем уравнение в виде дроби:

$\frac{C_{2n+1}^{n-1}}{C_{2n}^{n+1}} = \frac{5}{3}$

Используем формулу для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и распишем каждый член уравнения.

$C_{2n+1}^{n-1} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!((2n+1)-(n-1))!} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}$

$C_{2n}^{n+1} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(2n-(n+1))!} = \frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{\frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!}}{\frac{(2n)!}{(n+1)!(n-1)!}} = \frac{(2n+1)!}{(n-1)!(n+2)!} \cdot \frac{(n+1)!(n-1)!}{(2n)!} = \frac{5}{3}$

Сократим факториалы, используя свойства $n! = n \cdot (n-1)!$:

$(2n+1)! = (2n+1) \cdot (2n)!$

$(n+2)! = (n+2) \cdot (n+1)!$

$\frac{(2n+1) \cdot (2n)!}{(n+2) \cdot (n+1)!} \cdot \frac{(n+1)!}{(2n)!} = \frac{5}{3}$

После сокращения одинаковых членов $(2n)!$ и $(n+1)!$ получаем:

$\frac{2n+1}{n+2} = \frac{5}{3}$

Решим полученное линейное уравнение с помощью перекрестного умножения:

$3(2n+1) = 5(n+2)$

$6n + 3 = 5n + 10$

$6n - 5n = 10 - 3$

$n = 7$

Проверим область допустимых значений. Для $C_n^k$ должно выполняться $n \ge k \ge 0$.

Для $C_{2n+1}^{n-1}$: $2n+1 \ge n-1 \implies n \ge -2$ и $n-1 \ge 0 \implies n \ge 1$.

Для $C_{2n}^{n+1}$: $2n \ge n+1 \implies n \ge 1$ и $n+1 \ge 0 \implies n \ge -1$.

Общая область допустимых значений: $n$ - целое число и $n \ge 1$. Найденный корень $n=7$ удовлетворяет этому условию.

Ответ: 7

2) $A_{2x+8}^{x-1} : A_{2x}^{x+1} = \frac{1}{30}$

В данном уравнении, скорее всего, допущена опечатка. Если решать его в исходном виде, используя формулу для размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$, то получится очень сложное уравнение:

$\frac{A_{2x+8}^{x-1}}{A_{2x}^{x+1}} = \frac{(2x+8)!/(x+9)!}{(2x)!/(x-1)!} = \frac{(2x+8)!}{(x+9)!} \cdot \frac{(x-1)!}{(2x)!} = \frac{(2x+8)(2x+7)...(2x+1)}{(x+9)(x+8)...x} = \frac{1}{30}$

Это уравнение является полиномиальным уравнением высокой степени и не имеет простых целочисленных решений. Наиболее вероятной опечаткой является основание первого члена. Предположим, что вместо $2x+8$ должно быть $2x$. Тогда уравнение принимает вид:

$A_{2x}^{x-1} : A_{2x}^{x+1} = \frac{1}{30}$

Запишем уравнение в виде дроби и используем формулу для числа размещений:

$\frac{A_{2x}^{x-1}}{A_{2x}^{x+1}} = \frac{\frac{(2x)!}{(2x-(x-1))!}}{\frac{(2x)!}{(2x-(x+1))!}} = \frac{\frac{(2x)!}{(x+1)!}}{\frac{(2x)!}{(x-1)!}} = \frac{(2x)!}{(x+1)!} \cdot \frac{(x-1)!}{(2x)!} = \frac{1}{30}$

Сократим $(2x)!$:

$\frac{(x-1)!}{(x+1)!} = \frac{1}{30}$

Распишем $(x+1)! = (x+1) \cdot x \cdot (x-1)!$:

$\frac{(x-1)!}{(x+1) \cdot x \cdot (x-1)!} = \frac{1}{x(x+1)} = \frac{1}{30}$

Отсюда получаем квадратное уравнение:

$x(x+1) = 30$

$x^2 + x - 30 = 0$

Решим его, например, по теореме Виета. Корни уравнения: $x_1 = 5$ и $x_2 = -6$.

Проверим область допустимых значений. Для $A_n^k$ должно выполняться $n \ge k \ge 0$.

Для $A_{2x}^{x-1}$: $2x \ge x-1 \implies x \ge -1$ и $x-1 \ge 0 \implies x \ge 1$.

Для $A_{2x}^{x+1}$: $2x \ge x+1 \implies x \ge 1$ и $x+1 \ge 0 \implies x \ge -1$.

Общая область допустимых значений: $x$ - целое число и $x \ge 1$. Этому условию удовлетворяет только корень $x=5$.

Ответ: 5

3) $C_n^2 \cdot A_n^2 = 32$

Используем формулы для числа сочетаний $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$ и числа размещений $A_n^k = \frac{n!}{(n-k)!}$.

$C_n^2 = \frac{n!}{2!(n-2)!} = \frac{n(n-1)}{2}$

$A_n^2 = \frac{n!}{(n-2)!} = n(n-1)$

Подставим эти выражения в исходное уравнение:

$\frac{n(n-1)}{2} \cdot n(n-1) = 32$

$\frac{[n(n-1)]^2}{2} = 32$

$[n(n-1)]^2 = 64$

Извлечем квадратный корень из обеих частей уравнения:

$n(n-1) = \pm 8$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $n(n-1) = 8$

$n^2 - n - 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(-8) = 1 + 32 = 33$. Так как $D$ не является полным квадратом, корни этого уравнения $n = \frac{1 \pm \sqrt{33}}{2}$ не являются целыми числами.

Случай 2: $n(n-1) = -8$

$n^2 - n + 8 = 0$

Найдем дискриминант: $D = (-1)^2 - 4(1)(8) = 1 - 32 = -31$. Так как $D < 0$, это уравнение не имеет действительных корней.

Для существования выражений $C_n^2$ и $A_n^2$ необходимо, чтобы $n$ было целым числом и $n \ge 2$. Поскольку ни в одном из случаев мы не получили целочисленных решений для $n$, удовлетворяющих этому условию, исходное уравнение не имеет решений в области определения.

Ответ: нет решений