Номер 24.9, страница 186, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

*24.9. На окружности последовательно отмечены точки $A_1$, $A_2$, ..., $A_{11}$, $A_{12}$. Найдите:

1) число хорд с концами в этих точках;

2) число треугольников с вершинами в этих точках;

3) число выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках.

1) число хорд с концами в этих точках;

На окружности отмечено 12 точек. Хорда — это отрезок, соединяющий две любые точки на окружности. Чтобы найти общее число хорд, нужно определить, сколькими способами можно выбрать 2 точки из 12 имеющихся. Поскольку порядок выбора точек для хорды не важен (хорда $A_1A_2$ — это та же хорда, что и $A_2A_1$), мы используем формулу для числа сочетаний из $n$ элементов по $k$: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.

В данном случае общее число точек $n = 12$, а для построения одной хорды нужно выбрать $k = 2$ точки.

Число хорд равно числу сочетаний из 12 по 2:

$C_{12}^2 = \frac{12!}{2!(12-2)!} = \frac{12!}{2!10!} = \frac{12 \times 11}{2 \times 1} = 6 \times 11 = 66$.

Ответ: 66

2) число треугольников с вершинами в этих точках;

Треугольник образуется тремя точками, которые не лежат на одной прямой. Так как все 12 точек расположены на окружности, любые три из них не будут коллинеарными, а значит, всегда будут образовывать треугольник. Следовательно, задача сводится к нахождению числа способов выбрать 3 вершины из 12 доступных точек.

Используем формулу для числа сочетаний, где $n = 12$ и $k = 3$.

Число треугольников равно числу сочетаний из 12 по 3:

$C_{12}^3 = \frac{12!}{3!(12-3)!} = \frac{12!}{3!9!} = \frac{12 \times 11 \times 10}{3 \times 2 \times 1} = 2 \times 11 \times 10 = 220$.

Ответ: 220

3) число выпуклых четырехугольников с вершинами в этих точках.

Любые четыре точки, выбранные на окружности, однозначно определяют выпуклый четырехугольник, вершинами которого они являются. Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти количество способов выбрать 4 вершины из 12 данных точек.

Используем формулу для числа сочетаний, где $n = 12$ и $k = 4$.

Число выпуклых четырехугольников равно числу сочетаний из 12 по 4:

$C_{12}^4 = \frac{12!}{4!(12-4)!} = \frac{12!}{4!8!} = \frac{12 \times 11 \times 10 \times 9}{4 \times 3 \times 2 \times 1} = \frac{11880}{24} = 495$.

Ответ: 495