Номер 24.12, страница 187, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

24.12. Постройте схематический график функции и по ее графику найдите промежутки возрастания и убывания функции:

1) $f(x)=\frac{2x}{x+1}$

2) $f(x)=\frac{3x}{x^2-9}$

3) $f(x)=\frac{x}{25-x^2}$

4) $f(x)=\frac{x^2-9}{x^2-4}$

1) $f(x) = \frac{2x}{x+1}$

Для построения схематического графика и нахождения промежутков возрастания и убывания функции, проведем ее полное исследование.

1. Область определения. Знаменатель дроби не может быть равен нулю, поэтому $x+1 \neq 0$, что означает $x \neq -1$. Таким образом, область определения функции: $D(f) = (-\infty; -1) \cup (-1; \infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальная асимптота: Поскольку при $x \to -1$ знаменатель стремится к нулю, а числитель к $2(-1) = -2$ (конечному значению, отличному от нуля), прямая $x = -1$ является вертикальной асимптотой.

- Горизонтальная асимптота: Найдем предел функции при $x \to \pm\infty$: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{2x}{x+1} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{2}{1 + 1/x} = \frac{2}{1+0} = 2$. Следовательно, прямая $y=2$ является горизонтальной асимптотой.

3. Производная и промежутки монотонности. Для определения промежутков возрастания и убывания найдем производную функции, используя правило дифференцирования частного $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$:

$f'(x) = \frac{(2x)'(x+1) - 2x(x+1)'}{(x+1)^2} = \frac{2(x+1) - 2x(1)}{(x+1)^2} = \frac{2x+2-2x}{(x+1)^2} = \frac{2}{(x+1)^2}$.

4. Анализ знака производной.

Числитель производной равен 2 (положительное число). Знаменатель $(x+1)^2$ положителен для любого $x$ из области определения. Таким образом, $f'(x) > 0$ для всех $x \in D(f)$.

Это означает, что функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

5. Схематический график. На основе полученных данных, график функции представляет собой гиперболу. Он имеет вертикальную асимптоту $x=-1$ и горизонтальную асимптоту $y=2$. График проходит через точку $(0,0)$. Функция возрастает на интервале $(-\infty, -1)$ от $y=2$ до $+\infty$ и на интервале $(-1, \infty)$ от $-\infty$ до $y=2$.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -1)$ и $(-1; \infty)$, промежутков убывания нет.

2) $f(x) = \frac{3x}{x^2 - 9}$

1. Область определения. Знаменатель не равен нулю: $x^2 - 9 \neq 0 \implies (x-3)(x+3) \neq 0 \implies x \neq \pm 3$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -3) \cup (-3; 3) \cup (3; \infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальные асимптоты: $x = -3$ и $x = 3$.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{3x}{x^2 - 9} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{3/x}{1 - 9/x^2} = \frac{0}{1} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота.

3. Производная и промежутки монотонности.

$f'(x) = (\frac{3x}{x^2-9})' = \frac{3(x^2-9) - 3x(2x)}{(x^2-9)^2} = \frac{3x^2 - 27 - 6x^2}{(x^2-9)^2} = \frac{-3x^2 - 27}{(x^2-9)^2} = \frac{-3(x^2+9)}{(x^2-9)^2}$.

4. Анализ знака производной.

Выражение $x^2+9$ всегда положительно. Значит, числитель $-3(x^2+9)$ всегда отрицателен. Знаменатель $(x^2-9)^2$ всегда положителен в области определения. Следовательно, $f'(x) < 0$ при всех $x \in D(f)$.

Это означает, что функция строго убывает на каждом из интервалов своей области определения.

5. Схематический график. Функция нечетная ($f(-x) = -f(x)$), график симметричен относительно начала координат. График состоит из трех ветвей, разделенных асимптотами. На всех трех интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; \infty)$ функция убывает.

Ответ: функция убывает на промежутках $(-\infty; -3)$, $(-3; 3)$ и $(3; \infty)$, промежутков возрастания нет.

3) $f(x) = \frac{x}{25 - x^2}$

1. Область определения. $25 - x^2 \neq 0 \implies x^2 \neq 25 \implies x \neq \pm 5$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -5) \cup (-5; 5) \cup (5; \infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальные асимптоты: $x = -5$ и $x = 5$.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x}{25 - x^2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1/x}{25/x^2 - 1} = \frac{0}{-1} = 0$. Следовательно, $y=0$ — горизонтальная асимптота.

3. Производная и промежутки монотонности.

$f'(x) = (\frac{x}{25-x^2})' = \frac{1(25-x^2) - x(-2x)}{(25-x^2)^2} = \frac{25-x^2 + 2x^2}{(25-x^2)^2} = \frac{x^2 + 25}{(25-x^2)^2}$.

4. Анализ знака производной.

Числитель $x^2+25$ всегда положителен. Знаменатель $(25-x^2)^2$ всегда положителен в области определения. Следовательно, $f'(x) > 0$ при всех $x \in D(f)$.

Это означает, что функция строго возрастает на каждом из интервалов своей области определения.

5. Схематический график. Функция нечетная, график симметричен относительно начала координат. График состоит из трех ветвей. На всех трех интервалах $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; \infty)$ функция возрастает.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(-\infty; -5)$, $(-5; 5)$ и $(5; \infty)$, промежутков убывания нет.

4) $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4}$

1. Область определения. $x^2 - 4 \neq 0 \implies x \neq \pm 2$. Область определения: $D(f) = (-\infty; -2) \cup (-2; 2) \cup (2; \infty)$.

2. Асимптоты.

- Вертикальные асимптоты: $x = -2$ и $x = 2$.

- Горизонтальная асимптота: $\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 - 9/x^2}{1 - 4/x^2} = 1$. Следовательно, $y=1$ — горизонтальная асимптота.

3. Производная и промежутки монотонности.

$f'(x) = (\frac{x^2-9}{x^2-4})' = \frac{2x(x^2-4) - (x^2-9)(2x)}{(x^2-4)^2} = \frac{2x^3 - 8x - 2x^3 + 18x}{(x^2-4)^2} = \frac{10x}{(x^2-4)^2}$.

4. Анализ знака производной.

Знаменатель $(x^2-4)^2$ всегда положителен в области определения. Знак производной $f'(x)$ совпадает со знаком числителя $10x$.

- $f'(x) > 0$ при $10x > 0 \implies x > 0$. Функция возрастает на промежутках $(0; 2)$ и $(2; \infty)$.

- $f'(x) < 0$ при $10x < 0 \implies x < 0$. Функция убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$.

- При $x=0$ производная равна нулю. Это точка экстремума (локального минимума), так как знак производной меняется с "-" на "+". Значение функции в этой точке: $f(0) = \frac{-9}{-4} = \frac{9}{4}$.

5. Схематический график. Функция четная ($f(-x) = f(x)$), ее график симметричен относительно оси Oy. На промежутке $(-2; 2)$ график имеет U-образную форму с точкой минимума $(0; 9/4)$. На промежутках $(-\infty; -2)$ и $(2; \infty)$ график приближается к горизонтальной асимптоте $y=1$ и уходит к бесконечности вблизи вертикальных асимптот.

Ответ: функция возрастает на промежутках $(0; 2)$ и $(2; \infty)$, убывает на промежутках $(-\infty; -2)$ и $(-2; 0)$.