Номер 25.2, страница 190, часть 1 - гдз по алгебре 10 класс учебник Абылкасымова, Кучер

25.2. Найдите коэффициент при $x^n$ в разложении степени с помощью бинома Ньютона:

1) $(x+2)^{10}, n=3$;

2) $(1-2x)^7, n=4$;

3) $(\sqrt{x}-\frac{2}{x})^8, n=-5$.

1) Для разложения $(x+2)^{10}$ по формуле бинома Ньютона $(a+b)^p = \sum_{k=0}^{p} C_p^k a^{p-k} b^k$, где $a=x$, $b=2$ и $p=10$, общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_{10}^k x^{10-k} 2^k$.

Мы ищем коэффициент при $x^n$, где $n=3$. Для этого необходимо, чтобы степень переменной $x$ была равна 3:

$10-k=3$, откуда $k=7$.

Подставим найденное значение $k=7$ в формулу для общего члена, чтобы найти искомый коэффициент. Коэффициент при $x^3$ равен $C_{10}^7 \cdot 2^7$.

Вычислим биномиальный коэффициент:

$C_{10}^7 = \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = \frac{10 \cdot 9 \cdot 8}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 10 \cdot 3 \cdot 4 = 120$.

Вычислим степень двойки:

$2^7 = 128$.

Теперь перемножим полученные значения, чтобы найти искомый коэффициент:

$120 \cdot 128 = 15360$.

Ответ: $15360$.

2) Для разложения $(1-2x)^7$ по формуле бинома Ньютона, где $a=1$, $b=-2x$ и $p=7$, общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_7^k (1)^{7-k} (-2x)^k = C_7^k (-2)^k x^k$.

Мы ищем коэффициент при $x^n$, где $n=4$. Для этого необходимо, чтобы степень переменной $x$ была равна 4:

$k=4$.

Подставим $k=4$ в формулу для общего члена. Коэффициент при $x^4$ равен $C_7^4 \cdot (-2)^4$.

Вычислим биномиальный коэффициент:

$C_7^4 = \binom{7}{4} = \frac{7!}{4!(7-4)!} = \frac{7!}{4!3!} = \frac{7 \cdot 6 \cdot 5}{3 \cdot 2 \cdot 1} = 35$.

Вычислим степень:

$(-2)^4 = 16$.

Теперь перемножим полученные значения:

$35 \cdot 16 = 560$.

Ответ: $560$.

3) Для разложения $(\sqrt{x} - \frac{2}{x})^8$ по формуле бинома Ньютона, где $a=\sqrt{x}=x^{1/2}$, $b=-\frac{2}{x}=-2x^{-1}$ и $p=8$, общий член разложения $T_{k+1}$ имеет вид:

$T_{k+1} = C_8^k (x^{1/2})^{8-k} (-2x^{-1})^k = C_8^k x^{\frac{8-k}{2}} (-2)^k x^{-k} = C_8^k (-2)^k x^{\frac{8-k}{2}-k}$.

Мы ищем коэффициент при $x^n$, где $n=-5$. Для этого необходимо, чтобы степень переменной $x$ была равна -5:

$\frac{8-k}{2} - k = -5$.

Решим это уравнение относительно $k$, умножив обе части на 2:

$8-k-2k = -10$

$8-3k = -10$

$3k = 18$

$k=6$.

Подставим $k=6$ в формулу для общего члена. Коэффициент при $x^{-5}$ равен $C_8^6 \cdot (-2)^6$.

Вычислим биномиальный коэффициент:

$C_8^6 = \binom{8}{6} = \frac{8!}{6!(8-6)!} = \frac{8!}{6!2!} = \frac{8 \cdot 7}{2 \cdot 1} = 28$.

Вычислим степень:

$(-2)^6 = 64$.

Теперь перемножим полученные значения:

$28 \cdot 64 = 1792$.

Ответ: $1792$.